Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58248 / 87675
↖ ↑ ↗
← S 51.827291°
W 20.017090°		 ← 188.72 m → S 51.827291°
W 20.014343°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
S 51.828988°
W 20.017090°		 ← 188.72 m →
35 613 m²		 S 51.828988°
W 20.014343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444400787353516 y=0.668910980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444400787353516 × 217)
    floor (0.444400787353516 × 131072)
    floor (58248.5)     		tx = 58248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668910980224609 × 217)
    floor (0.668910980224609 × 131072)
    floor (87675.5)     		ty = 87675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58248 / 87675 ti = "17/58248/87675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58248/87675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58248 ÷ 217
    58248 ÷ 131072     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87675 ÷ 217
    87675 ÷ 131072     		y = 0.668907165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668907165527344 × 2 - 1) × π
    -0.337814331054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.06127502068842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06127502068842))-π/2
    2×atan(0.346014353497365)-π/2
    2×0.333119728982892-π/2
    0.666239457965783-1.57079632675     		φ = -0.90455687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90455687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.827291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58248 KachelY 87675 -0.34936412 -0.90455687 -20.017090 -51.827291
    Oben rechts KachelX + 1 58249 KachelY 87675 -0.34931619 -0.90455687 -20.014343 -51.827291
    Unten links KachelX 58248 KachelY + 1 87676 -0.34936412 -0.90458649 -20.017090 -51.828988
    Unten rechts KachelX + 1 58249 KachelY + 1 87676 -0.34931619 -0.90458649 -20.014343 -51.828988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90455687--0.90458649) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dl = 188.709020000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90455687--0.90458649) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dr = 188.709020000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34931619) × cos(-0.90455687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618034007855245 × 6371000     		do = 188.724119247611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34931619) × cos(-0.90458649) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61801072178077 × 6371000     		du = 188.717008564638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90455687)-sin(-0.90458649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618034007855245-0.61801072178077)×R²
    abs(-0.34931619--0.34936412)×2.3286074475326e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3286074475326e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3286074475326e-05×40589641000000     		ar = 35613.2726713333m²