Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58245 / 90008
↖ ↑ ↗
← S 55.615589°
W 20.025330°		 ← 172.49 m → S 55.615589°
W 20.022583°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
S 55.617140°
W 20.025330°		 ← 172.48 m →
29 758 m²		 S 55.617140°
W 20.022583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444377899169922 y=0.686710357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444377899169922 × 217)
    floor (0.444377899169922 × 131072)
    floor (58245.5)     		tx = 58245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686710357666016 × 217)
    floor (0.686710357666016 × 131072)
    floor (90008.5)     		ty = 90008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58245 / 90008 ti = "17/58245/90008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58245/90008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58245 ÷ 217
    58245 ÷ 131072     		x = 0.444374084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90008 ÷ 217
    90008 ÷ 131072     		y = 0.68670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444374084472656 × 2 - 1) × π
    -0.111251831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34950794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17311180750201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34950794} λ = -0.34950794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17311180750201))-π/2
    2×atan(0.309402640227019)-π/2
    2×0.300060591443445-π/2
    0.600121182886891-1.57079632675     		φ = -0.97067514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34950794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.025330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97067514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.615589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58245 KachelY 90008 -0.34950794 -0.97067514 -20.025330 -55.615589
    Oben rechts KachelX + 1 58246 KachelY 90008 -0.34946000 -0.97067514 -20.022583 -55.615589
    Unten links KachelX 58245 KachelY + 1 90009 -0.34950794 -0.97070222 -20.025330 -55.617140
    Unten rechts KachelX + 1 58246 KachelY + 1 90009 -0.34946000 -0.97070222 -20.022583 -55.617140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97067514--0.97070222) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dl = 172.526679999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97067514--0.97070222) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dr = 172.526679999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34950794--0.34946000) × cos(-0.97067514) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564742489026438 × 6371000     		do = 172.486892620428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34950794--0.34946000) × cos(-0.97070222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564720140584092 × 6371000     		du = 172.480066830887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97067514)-sin(-0.97070222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564742489026438-0.564720140584092)×R²
    abs(-0.34946000--0.34950794)×2.23484423462761e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23484423462761e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23484423462761e-05×40589641000000     		ar = 29758.0021136465m²