Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58244 / 87684
↖ ↑ ↗
← S 51.842565°
W 20.028076°		 ← 188.66 m → S 51.842565°
W 20.025330°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
S 51.844263°
W 20.028076°		 ← 188.65 m →
35 601 m²		 S 51.844263°
W 20.025330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444370269775391 y=0.668979644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444370269775391 × 217)
    floor (0.444370269775391 × 131072)
    floor (58244.5)     		tx = 58244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668979644775391 × 217)
    floor (0.668979644775391 × 131072)
    floor (87684.5)     		ty = 87684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58244 / 87684 ti = "17/58244/87684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58244/87684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58244 ÷ 217
    58244 ÷ 131072     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87684 ÷ 217
    87684 ÷ 131072     		y = 0.668975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.33795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.061706452785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.061706452785))-π/2
    2×atan(0.345865103997216)-π/2
    2×0.332986431736942-π/2
    0.665972863473884-1.57079632675     		φ = -0.90482346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90482346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.842565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58244 KachelY 87684 -0.34955587 -0.90482346 -20.028076 -51.842565
    Oben rechts KachelX + 1 58245 KachelY 87684 -0.34950794 -0.90482346 -20.025330 -51.842565
    Unten links KachelX 58244 KachelY + 1 87685 -0.34955587 -0.90485308 -20.028076 -51.844263
    Unten rechts KachelX + 1 58245 KachelY + 1 87685 -0.34950794 -0.90485308 -20.025330 -51.844263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90482346--0.90485308) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dl = 188.709019999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90482346--0.90485308) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dr = 188.709019999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34950794) × cos(-0.90482346) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617824405804027 × 6371000     		do = 188.660114739758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34950794) × cos(-0.90485308) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61780111485023 × 6371000     		du = 188.653002566826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90482346)-sin(-0.90485308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617824405804027-0.61780111485023)×R²
    abs(-0.34950794--0.34955587)×2.32909537968284e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32909537968284e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32909537968284e-05×40589641000000     		ar = 35601.1943027196m²