Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58243 / 90024
↖ ↑ ↗
← S 55.640399°
W 20.030823°		 ← 172.38 m → S 55.640399°
W 20.028076°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
S 55.641949°
W 20.030823°		 ← 172.37 m →
29 706 m²		 S 55.641949°
W 20.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444362640380859 y=0.686832427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444362640380859 × 217)
    floor (0.444362640380859 × 131072)
    floor (58243.5)     		tx = 58243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686832427978516 × 217)
    floor (0.686832427978516 × 131072)
    floor (90024.5)     		ty = 90024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58243 / 90024 ti = "17/58243/90024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58243/90024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58243 ÷ 217
    58243 ÷ 131072     		x = 0.444358825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90024 ÷ 217
    90024 ÷ 131072     		y = 0.68682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444358825683594 × 2 - 1) × π
    -0.111282348632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34960381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.3736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17387879789594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34960381} λ = -0.34960381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17387879789594))-π/2
    2×atan(0.309165422357654)-π/2
    2×0.29984408394821-π/2
    0.599688167896421-1.57079632675     		φ = -0.97110816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34960381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.030823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97110816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.640399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58243 KachelY 90024 -0.34960381 -0.97110816 -20.030823 -55.640399
    Oben rechts KachelX + 1 58244 KachelY 90024 -0.34955587 -0.97110816 -20.028076 -55.640399
    Unten links KachelX 58243 KachelY + 1 90025 -0.34960381 -0.97113521 -20.030823 -55.641949
    Unten rechts KachelX + 1 58244 KachelY + 1 90025 -0.34955587 -0.97113521 -20.028076 -55.641949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97110816--0.97113521) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dl = 172.335550000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97110816--0.97113521) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dr = 172.335550000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34960381--0.34955587) × cos(-0.97110816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564385078896221 × 6371000     		do = 172.377730366923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34960381--0.34955587) × cos(-0.97113521) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564362748599636 × 6371000     		du = 172.370910119564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97110816)-sin(-0.97113521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564385078896221-0.564362748599636)×R²
    abs(-0.34955587--0.34960381)×2.23302965850491e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23302965850491e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23302965850491e-05×40589641000000     		ar = 29706.2232867203m²