Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58242 / 87458
↖ ↑ ↗
← S 51.457430°
W 20.033570°		 ← 190.31 m → S 51.457430°
W 20.030823°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
S 51.459141°
W 20.033570°		 ← 190.30 m →
36 216 m²		 S 51.459141°
W 20.030823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444355010986328 y=0.667255401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444355010986328 × 217)
    floor (0.444355010986328 × 131072)
    floor (58242.5)     		tx = 58242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667255401611328 × 217)
    floor (0.667255401611328 × 131072)
    floor (87458.5)     		ty = 87458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58242 / 87458 ti = "17/58242/87458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58242/87458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58242 ÷ 217
    58242 ÷ 131072     		x = 0.444351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87458 ÷ 217
    87458 ÷ 131072     		y = 0.667251586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444351196289062 × 2 - 1) × π
    -0.111297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34965175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667251586914062 × 2 - 1) × π
    -0.334503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05087271347087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34965175} λ = -0.34965175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05087271347087))-π/2
    2×atan(0.349632486946116)-π/2
    2×0.336347376037377-π/2
    0.672694752074754-1.57079632675     		φ = -0.89810157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34965175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.033570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89810157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.457430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58242 KachelY 87458 -0.34965175 -0.89810157 -20.033570 -51.457430
    Oben rechts KachelX + 1 58243 KachelY 87458 -0.34960381 -0.89810157 -20.030823 -51.457430
    Unten links KachelX 58242 KachelY + 1 87459 -0.34965175 -0.89813144 -20.033570 -51.459141
    Unten rechts KachelX + 1 58243 KachelY + 1 87459 -0.34960381 -0.89813144 -20.030823 -51.459141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89810157--0.89813144) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dl = 190.30176999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89810157--0.89813144) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dr = 190.30176999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34965175--0.34960381) × cos(-0.89810157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623095938530294 × 6371000     		do = 190.309538116485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34965175--0.34960381) × cos(-0.89813144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62307257556876 × 6371000     		du = 190.30240246667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89810157)-sin(-0.89813144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623095938530294-0.62307257556876)×R²
    abs(-0.34960381--0.34965175)×2.33629615334907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33629615334907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33629615334907e-05×40589641000000     		ar = 36215.5629906741m²