Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58241 / 87689
↖ ↑ ↗
← S 51.851049°
W 20.036316°		 ← 188.62 m → S 51.851049°
W 20.033570°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
S 51.852746°
W 20.036316°		 ← 188.62 m →
35 582 m²		 S 51.852746°
W 20.033570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444347381591797 y=0.669017791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444347381591797 × 217)
    floor (0.444347381591797 × 131072)
    floor (58241.5)     		tx = 58241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669017791748047 × 217)
    floor (0.669017791748047 × 131072)
    floor (87689.5)     		ty = 87689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58241 / 87689 ti = "17/58241/87689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58241/87689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58241 ÷ 217
    58241 ÷ 131072     		x = 0.444343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87689 ÷ 217
    87689 ÷ 131072     		y = 0.669013977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444343566894531 × 2 - 1) × π
    -0.111312866210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34969968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669013977050781 × 2 - 1) × π
    -0.338027954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.0619461372831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34969968} λ = -0.34969968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0619461372831))-π/2
    2×atan(0.345782215427304)-π/2
    2×0.332912397247993-π/2
    0.665824794495986-1.57079632675     		φ = -0.90497153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34969968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.036316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90497153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.851049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58241 KachelY 87689 -0.34969968 -0.90497153 -20.036316 -51.851049
    Oben rechts KachelX + 1 58242 KachelY 87689 -0.34965175 -0.90497153 -20.033570 -51.851049
    Unten links KachelX 58241 KachelY + 1 87690 -0.34969968 -0.90500114 -20.036316 -51.852746
    Unten rechts KachelX + 1 58242 KachelY + 1 87690 -0.34965175 -0.90500114 -20.033570 -51.852746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90497153--0.90500114) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dl = 188.645310000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90497153--0.90500114) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dr = 188.645310000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(-0.90497153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61770796920723 × 6371000     		do = 188.624559424413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(-0.90500114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617684683408324 × 6371000     		du = 188.617448825588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90497153)-sin(-0.90500114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61770796920723-0.617684683408324)×R²
    abs(-0.34965175--0.34969968)×2.32857989067581e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32857989067581e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32857989067581e-05×40589641000000     		ar = 35582.4677982252m²