Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58241 / 87687
↖ ↑ ↗
← S 51.847656°
W 20.036316°		 ← 188.64 m → S 51.847656°
W 20.033570°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
S 51.849353°
W 20.036316°		 ← 188.63 m →
35 585 m²		 S 51.849353°
W 20.033570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444347381591797 y=0.669002532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444347381591797 × 217)
    floor (0.444347381591797 × 131072)
    floor (58241.5)     		tx = 58241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669002532958984 × 217)
    floor (0.669002532958984 × 131072)
    floor (87687.5)     		ty = 87687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58241 / 87687 ti = "17/58241/87687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58241/87687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58241 ÷ 217
    58241 ÷ 131072     		x = 0.444343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87687 ÷ 217
    87687 ÷ 131072     		y = 0.668998718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444343566894531 × 2 - 1) × π
    -0.111312866210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34969968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668998718261719 × 2 - 1) × π
    -0.337997436523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.06185026348386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34969968} λ = -0.34969968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06185026348386))-π/2
    2×atan(0.345815368471235)-π/2
    2×0.332942009369105-π/2
    0.665884018738211-1.57079632675     		φ = -0.90491231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34969968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.036316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90491231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.847656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58241 KachelY 87687 -0.34969968 -0.90491231 -20.036316 -51.847656
    Oben rechts KachelX + 1 58242 KachelY 87687 -0.34965175 -0.90491231 -20.033570 -51.847656
    Unten links KachelX 58241 KachelY + 1 87688 -0.34969968 -0.90494192 -20.036316 -51.849353
    Unten rechts KachelX + 1 58242 KachelY + 1 87688 -0.34965175 -0.90494192 -20.033570 -51.849353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90491231--0.90494192) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000     		dl = 188.645309999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90491231--0.90494192) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000     		dr = 188.645309999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(-0.90491231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617754539180293 × 6371000     		do = 188.638780125924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34969968--0.34965175) × cos(-0.90494192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61773125446456 × 6371000     		du = 188.63166985786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90491231)-sin(-0.90494192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617754539180293-0.61773125446456)×R²
    abs(-0.34965175--0.34969968)×2.32847157327631e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32847157327631e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32847157327631e-05×40589641000000     		ar = 35585.1504978778m²