Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58240 / 90061
↖ ↑ ↗
← S 55.697712°
W 20.039063°		 ← 172.13 m → S 55.697712°
W 20.036316°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
S 55.699260°
W 20.039063°		 ← 172.12 m →
29 619 m²		 S 55.699260°
W 20.036316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444339752197266 y=0.687114715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444339752197266 × 217)
    floor (0.444339752197266 × 131072)
    floor (58240.5)     		tx = 58240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687114715576172 × 217)
    floor (0.687114715576172 × 131072)
    floor (90061.5)     		ty = 90061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58240 / 90061 ti = "17/58240/90061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58240/90061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58240 ÷ 217
    58240 ÷ 131072     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90061 ÷ 217
    90061 ÷ 131072     		y = 0.687110900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687110900878906 × 2 - 1) × π
    -0.374221801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.17565246318188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17565246318188))-π/2
    2×atan(0.308617552393001)-π/2
    2×0.299343935163348-π/2
    0.598687870326695-1.57079632675     		φ = -0.97210846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97210846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.697712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58240 KachelY 90061 -0.34974762 -0.97210846 -20.039063 -55.697712
    Oben rechts KachelX + 1 58241 KachelY 90061 -0.34969968 -0.97210846 -20.036316 -55.697712
    Unten links KachelX 58240 KachelY + 1 90062 -0.34974762 -0.97213547 -20.039063 -55.699260
    Unten rechts KachelX + 1 58241 KachelY + 1 90062 -0.34969968 -0.97213547 -20.036316 -55.699260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97210846--0.97213547) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97210846--0.97213547) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34969968) × cos(-0.97210846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563559037369528 × 6371000     		do = 172.125436022163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34969968) × cos(-0.97213547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563536724856863 × 6371000     		du = 172.118621206471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97210846)-sin(-0.97213547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563559037369528-0.563536724856863)×R²
    abs(-0.34969968--0.34974762)×2.23125126641577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23125126641577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23125126641577e-05×40589641000000     		ar = 29618.8808924421m²