Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58239 / 88669
↖ ↑ ↗
← S 53.483142°
W 20.041809°		 ← 181.75 m → S 53.483142°
W 20.039063°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
S 53.484777°
W 20.041809°		 ← 181.74 m →
33 034 m²		 S 53.484777°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444332122802734 y=0.676494598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444332122802734 × 217)
    floor (0.444332122802734 × 131072)
    floor (58239.5)     		tx = 58239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676494598388672 × 217)
    floor (0.676494598388672 × 131072)
    floor (88669.5)     		ty = 88669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58239 / 88669 ti = "17/58239/88669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58239/88669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58239 ÷ 217
    58239 ÷ 131072     		x = 0.444328308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88669 ÷ 217
    88669 ÷ 131072     		y = 0.676490783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444328308105469 × 2 - 1) × π
    -0.111343383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34979556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676490783691406 × 2 - 1) × π
    -0.352981567382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.10892429891076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34979556} λ = -0.34979556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10892429891076))-π/2
    2×atan(0.329913658748721)-π/2
    2×0.318669696348451-π/2
    0.637339392696902-1.57079632675     		φ = -0.93345693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34979556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.041809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93345693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.483142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58239 KachelY 88669 -0.34979556 -0.93345693 -20.041809 -53.483142
    Oben rechts KachelX + 1 58240 KachelY 88669 -0.34974762 -0.93345693 -20.039063 -53.483142
    Unten links KachelX 58239 KachelY + 1 88670 -0.34979556 -0.93348546 -20.041809 -53.484777
    Unten rechts KachelX + 1 58240 KachelY + 1 88670 -0.34974762 -0.93348546 -20.039063 -53.484777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93345693--0.93348546) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dl = 181.764630000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93345693--0.93348546) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dr = 181.764630000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34979556--0.34974762) × cos(-0.93345693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595059271620821 × 6371000     		do = 181.746418378741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34979556--0.34974762) × cos(-0.93348546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595036342336402 × 6371000     		du = 181.73941518508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93345693)-sin(-0.93348546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595059271620821-0.595036342336402)×R²
    abs(-0.34974762--0.34979556)×2.29292844184936e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29292844184936e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29292844184936e-05×40589641000000     		ar = 33034.434026325m²