Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58236 / 90062
↖ ↑ ↗
← S 55.699260°
W 20.050049°		 ← 172.12 m → S 55.699260°
W 20.047302°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
S 55.700807°
W 20.050049°		 ← 172.11 m →
29 618 m²		 S 55.700807°
W 20.047302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444309234619141 y=0.687122344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444309234619141 × 217)
    floor (0.444309234619141 × 131072)
    floor (58236.5)     		tx = 58236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687122344970703 × 217)
    floor (0.687122344970703 × 131072)
    floor (90062.5)     		ty = 90062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58236 / 90062 ti = "17/58236/90062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58236/90062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58236 ÷ 217
    58236 ÷ 131072     		x = 0.444305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90062 ÷ 217
    90062 ÷ 131072     		y = 0.687118530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.11138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34993937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687118530273438 × 2 - 1) × π
    -0.374237060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1757004000815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34993937} λ = -0.34993937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1757004000815))-π/2
    2×atan(0.308602758578959)-π/2
    2×0.299330427794222-π/2
    0.598660855588443-1.57079632675     		φ = -0.97213547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34993937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97213547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.699260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58236 KachelY 90062 -0.34993937 -0.97213547 -20.050049 -55.699260
    Oben rechts KachelX + 1 58237 KachelY 90062 -0.34989143 -0.97213547 -20.047302 -55.699260
    Unten links KachelX 58236 KachelY + 1 90063 -0.34993937 -0.97216248 -20.050049 -55.700807
    Unten rechts KachelX + 1 58237 KachelY + 1 90063 -0.34989143 -0.97216248 -20.047302 -55.700807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97213547--0.97216248) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97213547--0.97216248) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34993937--0.34989143) × cos(-0.97213547) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563536724856863 × 6371000     		do = 172.11862120667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34993937--0.34989143) × cos(-0.97216248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563514411933077 × 6371000     		du = 172.111806265411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97213547)-sin(-0.97216248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563536724856863-0.563514411933077)×R²
    abs(-0.34989143--0.34993937)×2.23129237867381e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23129237867381e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23129237867381e-05×40589641000000     		ar = 29617.7081832252m²