Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58236 / 88748
↖ ↑ ↗
← S 53.612062°
W 20.050049°		 ← 181.19 m → S 53.612062°
W 20.047302°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
S 53.613691°
W 20.050049°		 ← 181.19 m →
32 830 m²		 S 53.613691°
W 20.047302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444309234619141 y=0.677097320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444309234619141 × 217)
    floor (0.444309234619141 × 131072)
    floor (58236.5)     		tx = 58236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677097320556641 × 217)
    floor (0.677097320556641 × 131072)
    floor (88748.5)     		ty = 88748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58236 / 88748 ti = "17/58236/88748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58236/88748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58236 ÷ 217
    58236 ÷ 131072     		x = 0.444305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88748 ÷ 217
    88748 ÷ 131072     		y = 0.677093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.11138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34993937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.35418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11271131398074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34993937} λ = -0.34993937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11271131398074))-π/2
    2×atan(0.328666633493312)-π/2
    2×0.31754466101359-π/2
    0.63508932202718-1.57079632675     		φ = -0.93570700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34993937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93570700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.612062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58236 KachelY 88748 -0.34993937 -0.93570700 -20.050049 -53.612062
    Oben rechts KachelX + 1 58237 KachelY 88748 -0.34989143 -0.93570700 -20.047302 -53.612062
    Unten links KachelX 58236 KachelY + 1 88749 -0.34993937 -0.93573544 -20.050049 -53.613691
    Unten rechts KachelX + 1 58237 KachelY + 1 88749 -0.34989143 -0.93573544 -20.047302 -53.613691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93570700--0.93573544) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93570700--0.93573544) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34993937--0.34989143) × cos(-0.93570700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593249426463462 × 6371000     		do = 181.193645082269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34993937--0.34989143) × cos(-0.93573544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593226531491528 × 6371000     		du = 181.186652368524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93570700)-sin(-0.93573544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593249426463462-0.593226531491528)×R²
    abs(-0.34989143--0.34993937)×2.28949719331961e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28949719331961e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28949719331961e-05×40589641000000     		ar = 32830.0677255467m²