Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58234 / 90056
↖ ↑ ↗
← S 55.689972°
W 20.055542°		 ← 172.16 m → S 55.689972°
W 20.052795°		 →
↑
172.14 m
↓
↑
172.14 m
↓
S 55.691520°
W 20.055542°		 ← 172.15 m →
29 636 m²		 S 55.691520°
W 20.052795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444293975830078 y=0.687076568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444293975830078 × 217)
    floor (0.444293975830078 × 131072)
    floor (58234.5)     		tx = 58234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687076568603516 × 217)
    floor (0.687076568603516 × 131072)
    floor (90056.5)     		ty = 90056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58234 / 90056 ti = "17/58234/90056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58234/90056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58234 ÷ 217
    58234 ÷ 131072     		x = 0.444290161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90056 ÷ 217
    90056 ÷ 131072     		y = 0.68707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444290161132812 × 2 - 1) × π
    -0.111419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35003524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17541277868378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35003524} λ = -0.35003524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17541277868378))-π/2
    2×atan(0.308691532101692)-π/2
    2×0.299411480032642-π/2
    0.598822960065283-1.57079632675     		φ = -0.97197337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35003524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.055542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97197337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.689972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58234 KachelY 90056 -0.35003524 -0.97197337 -20.055542 -55.689972
    Oben rechts KachelX + 1 58235 KachelY 90056 -0.34998730 -0.97197337 -20.052795 -55.689972
    Unten links KachelX 58234 KachelY + 1 90057 -0.35003524 -0.97200039 -20.055542 -55.691520
    Unten rechts KachelX + 1 58235 KachelY + 1 90057 -0.34998730 -0.97200039 -20.052795 -55.691520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97197337--0.97200039) × R
    2.70200000000997e-05 × 6371000     		dl = 172.144420000635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97197337--0.97200039) × R
    2.70200000000997e-05 × 6371000     		dr = 172.144420000635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35003524--0.34998730) × cos(-0.97197337) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563670626805425 × 6371000     		do = 172.159518308397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35003524--0.34998730) × cos(-0.97200039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563648308089078 × 6371000     		du = 172.152701597941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97197337)-sin(-0.97200039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563670626805425-0.563648308089078)×R²
    abs(-0.34998730--0.35003524)×2.23187163466143e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23187163466143e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23187163466143e-05×40589641000000     		ar = 29635.7136993095m²