Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58231 / 88648
↖ ↑ ↗
← S 53.448807°
W 20.063782°		 ← 181.89 m → S 53.448807°
W 20.061035°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
S 53.450443°
W 20.063782°		 ← 181.89 m →
33 084 m²		 S 53.450443°
W 20.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444271087646484 y=0.676334381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444271087646484 × 217)
    floor (0.444271087646484 × 131072)
    floor (58231.5)     		tx = 58231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676334381103516 × 217)
    floor (0.676334381103516 × 131072)
    floor (88648.5)     		ty = 88648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58231 / 88648 ti = "17/58231/88648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58231/88648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58231 ÷ 217
    58231 ÷ 131072     		x = 0.444267272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88648 ÷ 217
    88648 ÷ 131072     		y = 0.67633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444267272949219 × 2 - 1) × π
    -0.111465454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35017905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.3526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10791762401874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35017905} λ = -0.35017905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10791762401874))-π/2
    2×atan(0.330245941767943)-π/2
    2×0.318969333136547-π/2
    0.637938666273093-1.57079632675     		φ = -0.93285766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35017905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.063782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93285766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.448807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58231 KachelY 88648 -0.35017905 -0.93285766 -20.063782 -53.448807
    Oben rechts KachelX + 1 58232 KachelY 88648 -0.35013111 -0.93285766 -20.061035 -53.448807
    Unten links KachelX 58231 KachelY + 1 88649 -0.35017905 -0.93288621 -20.063782 -53.450443
    Unten rechts KachelX + 1 58232 KachelY + 1 88649 -0.35013111 -0.93288621 -20.061035 -53.450443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93285766--0.93288621) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dl = 181.892050000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93285766--0.93288621) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dr = 181.892050000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35017905--0.35013111) × cos(-0.93285766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595540787144384 × 6371000     		do = 181.893485613637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35017905--0.35013111) × cos(-0.93288621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595517851970876 × 6371000     		du = 181.886480621296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93285766)-sin(-0.93288621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595540787144384-0.595517851970876)×R²
    abs(-0.35013111--0.35017905)×2.29351735077099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29351735077099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29351735077099e-05×40589641000000     		ar = 33084.3419060566m²