Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58229 / 88590
↖ ↑ ↗
← S 53.353830°
W 20.069275°		 ← 182.30 m → S 53.353830°
W 20.066528°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
S 53.355470°
W 20.069275°		 ← 182.29 m →
33 240 m²		 S 53.355470°
W 20.066528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444255828857422 y=0.675891876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444255828857422 × 217)
    floor (0.444255828857422 × 131072)
    floor (58229.5)     		tx = 58229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675891876220703 × 217)
    floor (0.675891876220703 × 131072)
    floor (88590.5)     		ty = 88590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58229 / 88590 ti = "17/58229/88590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58229/88590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58229 ÷ 217
    58229 ÷ 131072     		x = 0.444252014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88590 ÷ 217
    88590 ÷ 131072     		y = 0.675888061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444252014160156 × 2 - 1) × π
    -0.111495971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35027493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675888061523438 × 2 - 1) × π
    -0.351776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10513728384077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35027493} λ = -0.35027493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10513728384077))-π/2
    2×atan(0.331165415460959)-π/2
    2×0.319798161002073-π/2
    0.639596322004145-1.57079632675     		φ = -0.93120000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35027493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.069275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93120000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.353830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58229 KachelY 88590 -0.35027493 -0.93120000 -20.069275 -53.353830
    Oben rechts KachelX + 1 58230 KachelY 88590 -0.35022699 -0.93120000 -20.066528 -53.353830
    Unten links KachelX 58229 KachelY + 1 88591 -0.35027493 -0.93122862 -20.069275 -53.355470
    Unten rechts KachelX + 1 58230 KachelY + 1 88591 -0.35022699 -0.93122862 -20.066528 -53.355470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93120000--0.93122862) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dl = 182.338019999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93120000--0.93122862) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dr = 182.338019999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35027493--0.35022699) × cos(-0.93120000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596871608148689 × 6371000     		do = 182.299952603684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35027493--0.35022699) × cos(-0.93122862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596848645026047 × 6371000     		du = 182.292939074958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93120000)-sin(-0.93122862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596871608148689-0.596848645026047)×R²
    abs(-0.35022699--0.35027493)×2.29631226419391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29631226419391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29631226419391e-05×40589641000000     		ar = 33239.5729895647m²