Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58224 / 88656
↖ ↑ ↗
← S 53.461890°
W 20.083008°		 ← 181.84 m → S 53.461890°
W 20.080261°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
S 53.463526°
W 20.083008°		 ← 181.83 m →
33 063 m²		 S 53.463526°
W 20.080261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444217681884766 y=0.676395416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444217681884766 × 217)
    floor (0.444217681884766 × 131072)
    floor (58224.5)     		tx = 58224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676395416259766 × 217)
    floor (0.676395416259766 × 131072)
    floor (88656.5)     		ty = 88656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58224 / 88656 ti = "17/58224/88656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58224/88656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58224 ÷ 217
    58224 ÷ 131072     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88656 ÷ 217
    88656 ÷ 131072     		y = 0.6763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1083011192157))-π/2
    2×atan(0.330119318316754)-π/2
    2×0.318855157209954-π/2
    0.637710314419908-1.57079632675     		φ = -0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58224 KachelY 88656 -0.35051461 -0.93308601 -20.083008 -53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 58225 KachelY 88656 -0.35046667 -0.93308601 -20.080261 -53.461890
    Unten links KachelX 58224 KachelY + 1 88657 -0.35051461 -0.93311455 -20.083008 -53.463526
    Unten rechts KachelX + 1 58225 KachelY + 1 88657 -0.35046667 -0.93311455 -20.080261 -53.463526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93308601--0.93311455) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93308601--0.93311455) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35046667) × cos(-0.93308601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 181.837453794155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35046667) × cos(-0.93311455) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595334401318376 × 6371000     		du = 181.830450070213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93308601)-sin(-0.93311455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.595334401318376)×R²
    abs(-0.35046667--0.35051461)×2.29310206186772e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29310206186772e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29310206186772e-05×40589641000000     		ar = 33062.5656375696m²