Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58224 / 88588
↖ ↑ ↗
← S 53.350551°
W 20.083008°		 ← 182.31 m → S 53.350551°
W 20.080261°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
S 53.352191°
W 20.083008°		 ← 182.31 m →
33 231 m²		 S 53.352191°
W 20.080261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444217681884766 y=0.675876617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444217681884766 × 217)
    floor (0.444217681884766 × 131072)
    floor (58224.5)     		tx = 58224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675876617431641 × 217)
    floor (0.675876617431641 × 131072)
    floor (88588.5)     		ty = 88588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58224 / 88588 ti = "17/58224/88588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58224/88588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58224 ÷ 217
    58224 ÷ 131072     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88588 ÷ 217
    88588 ÷ 131072     		y = 0.675872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.35174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10504141004153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10504141004153))-π/2
    2×atan(0.331197167069566)-π/2
    2×0.319826774276735-π/2
    0.63965354855347-1.57079632675     		φ = -0.93114278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93114278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.350551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58224 KachelY 88588 -0.35051461 -0.93114278 -20.083008 -53.350551
    Oben rechts KachelX + 1 58225 KachelY 88588 -0.35046667 -0.93114278 -20.080261 -53.350551
    Unten links KachelX 58224 KachelY + 1 88589 -0.35051461 -0.93117139 -20.083008 -53.352191
    Unten rechts KachelX + 1 58225 KachelY + 1 88589 -0.35046667 -0.93117139 -20.080261 -53.352191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93114278--0.93117139) × R
    2.86100000000955e-05 × 6371000     		dl = 182.274310000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93114278--0.93117139) × R
    2.86100000000955e-05 × 6371000     		dr = 182.274310000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35046667) × cos(-0.93114278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596917516881201 × 6371000     		do = 182.313974312495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35046667) × cos(-0.93117139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596894562759233 × 6371000     		du = 182.306963532807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93114278)-sin(-0.93117139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596917516881201-0.596894562759233)×R²
    abs(-0.35046667--0.35051461)×2.29541219676221e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29541219676221e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29541219676221e-05×40589641000000     		ar = 33230.5149312202m²