Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58223 / 88687
↖ ↑ ↗
← S 53.512551°
W 20.085755°		 ← 181.62 m → S 53.512551°
W 20.083008°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
S 53.514185°
W 20.085755°		 ← 181.61 m →
32 988 m²		 S 53.514185°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444210052490234 y=0.676631927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444210052490234 × 217)
    floor (0.444210052490234 × 131072)
    floor (58223.5)     		tx = 58223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676631927490234 × 217)
    floor (0.676631927490234 × 131072)
    floor (88687.5)     		ty = 88687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58223 / 88687 ti = "17/58223/88687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58223/88687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58223 ÷ 217
    58223 ÷ 131072     		x = 0.444206237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88687 ÷ 217
    88687 ÷ 131072     		y = 0.676628112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444206237792969 × 2 - 1) × π
    -0.111587524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35056255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676628112792969 × 2 - 1) × π
    -0.353256225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.10978716310392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35056255} λ = -0.35056255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10978716310392))-π/2
    2×atan(0.329629110846505)-π/2
    2×0.31841305768767-π/2
    0.636826115375339-1.57079632675     		φ = -0.93397021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35056255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.085755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93397021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.512551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58223 KachelY 88687 -0.35056255 -0.93397021 -20.085755 -53.512551
    Oben rechts KachelX + 1 58224 KachelY 88687 -0.35051461 -0.93397021 -20.083008 -53.512551
    Unten links KachelX 58223 KachelY + 1 88688 -0.35056255 -0.93399872 -20.085755 -53.514185
    Unten rechts KachelX + 1 58224 KachelY + 1 88688 -0.35051461 -0.93399872 -20.083008 -53.514185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93397021--0.93399872) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93397021--0.93399872) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35056255--0.35051461) × cos(-0.93397021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594646679449741 × 6371000     		do = 181.620402109361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35056255--0.35051461) × cos(-0.93399872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594623757534618 × 6371000     		du = 181.613401166472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93397021)-sin(-0.93399872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594646679449741-0.594623757534618)×R²
    abs(-0.35051461--0.35056255)×2.29219151232085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29219151232085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29219151232085e-05×40589641000000     		ar = 32988.3873045018m²