Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58223 / 87718
↖ ↑ ↗
← S 51.900223°
W 20.085755°		 ← 188.46 m → S 51.900223°
W 20.083008°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
S 51.901918°
W 20.085755°		 ← 188.45 m →
35 515 m²		 S 51.901918°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444210052490234 y=0.669239044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444210052490234 × 217)
    floor (0.444210052490234 × 131072)
    floor (58223.5)     		tx = 58223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669239044189453 × 217)
    floor (0.669239044189453 × 131072)
    floor (87718.5)     		ty = 87718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58223 / 87718 ti = "17/58223/87718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58223/87718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58223 ÷ 217
    58223 ÷ 131072     		x = 0.444206237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87718 ÷ 217
    87718 ÷ 131072     		y = 0.669235229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444206237792969 × 2 - 1) × π
    -0.111587524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35056255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669235229492188 × 2 - 1) × π
    -0.338470458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06333630737209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35056255} λ = -0.35056255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06333630737209))-π/2
    2×atan(0.345301853304004)-π/2
    2×0.332483272341773-π/2
    0.664966544683545-1.57079632675     		φ = -0.90582978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35056255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.085755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90582978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.900223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58223 KachelY 87718 -0.35056255 -0.90582978 -20.085755 -51.900223
    Oben rechts KachelX + 1 58224 KachelY 87718 -0.35051461 -0.90582978 -20.083008 -51.900223
    Unten links KachelX 58223 KachelY + 1 87719 -0.35056255 -0.90585936 -20.085755 -51.901918
    Unten rechts KachelX + 1 58224 KachelY + 1 87719 -0.35051461 -0.90585936 -20.083008 -51.901918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90582978--0.90585936) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90582978--0.90585936) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35056255--0.35051461) × cos(-0.90582978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617032807494199 × 6371000     		do = 188.45770183307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35056255--0.35051461) × cos(-0.90585936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617009529615158 × 6371000     		du = 188.450592169638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90582978)-sin(-0.90585936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617032807494199-0.617009529615158)×R²
    abs(-0.35051461--0.35056255)×2.32778790405508e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32778790405508e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32778790405508e-05×40589641000000     		ar = 35514.9717433458m²