Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58221 / 88676
↖ ↑ ↗
← S 53.494582°
W 20.091248°		 ← 181.70 m → S 53.494582°
W 20.088501°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
S 53.496216°
W 20.091248°		 ← 181.69 m →
33 014 m²		 S 53.496216°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444194793701172 y=0.676548004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444194793701172 × 217)
    floor (0.444194793701172 × 131072)
    floor (58221.5)     		tx = 58221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676548004150391 × 217)
    floor (0.676548004150391 × 131072)
    floor (88676.5)     		ty = 88676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58221 / 88676 ti = "17/58221/88676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58221/88676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58221 ÷ 217
    58221 ÷ 131072     		x = 0.444190979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88676 ÷ 217
    88676 ÷ 131072     		y = 0.676544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444190979003906 × 2 - 1) × π
    -0.111618041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35065842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676544189453125 × 2 - 1) × π
    -0.35308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1092598572081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35065842} λ = -0.35065842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1092598572081))-π/2
    2×atan(0.32980297205508)-π/2
    2×0.318569871272789-π/2
    0.637139742545578-1.57079632675     		φ = -0.93365658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35065842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.091248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93365658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.494582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58221 KachelY 88676 -0.35065842 -0.93365658 -20.091248 -53.494582
    Oben rechts KachelX + 1 58222 KachelY 88676 -0.35061048 -0.93365658 -20.088501 -53.494582
    Unten links KachelX 58221 KachelY + 1 88677 -0.35065842 -0.93368510 -20.091248 -53.496216
    Unten rechts KachelX + 1 58222 KachelY + 1 88677 -0.35061048 -0.93368510 -20.088501 -53.496216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93365658--0.93368510) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dl = 181.700920000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93365658--0.93368510) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dr = 181.700920000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35065842--0.35061048) × cos(-0.93365658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59489880468752 × 6371000     		do = 181.697407646892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35065842--0.35061048) × cos(-0.93368510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594875880052333 × 6371000     		du = 181.690405873226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93365658)-sin(-0.93368510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59489880468752-0.594875880052333)×R²
    abs(-0.35061048--0.35065842)×2.29246351866053e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29246351866053e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29246351866053e-05×40589641000000     		ar = 33013.9500189134m²