Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58221 / 88649
↖ ↑ ↗
← S 53.450443°
W 20.091248°		 ← 181.89 m → S 53.450443°
W 20.088501°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
S 53.452078°
W 20.091248°		 ← 181.88 m →
33 083 m²		 S 53.452078°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444194793701172 y=0.676342010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444194793701172 × 217)
    floor (0.444194793701172 × 131072)
    floor (58221.5)     		tx = 58221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676342010498047 × 217)
    floor (0.676342010498047 × 131072)
    floor (88649.5)     		ty = 88649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58221 / 88649 ti = "17/58221/88649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58221/88649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58221 ÷ 217
    58221 ÷ 131072     		x = 0.444190979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88649 ÷ 217
    88649 ÷ 131072     		y = 0.676338195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444190979003906 × 2 - 1) × π
    -0.111618041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35065842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676338195800781 × 2 - 1) × π
    -0.352676391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.10796556091836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35065842} λ = -0.35065842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10796556091836))-π/2
    2×atan(0.33023011118082)-π/2
    2×0.31895505922193-π/2
    0.63791011844386-1.57079632675     		φ = -0.93288621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35065842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.091248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93288621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.450443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58221 KachelY 88649 -0.35065842 -0.93288621 -20.091248 -53.450443
    Oben rechts KachelX + 1 58222 KachelY 88649 -0.35061048 -0.93288621 -20.088501 -53.450443
    Unten links KachelX 58221 KachelY + 1 88650 -0.35065842 -0.93291476 -20.091248 -53.452078
    Unten rechts KachelX + 1 58222 KachelY + 1 88650 -0.35061048 -0.93291476 -20.088501 -53.452078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93288621--0.93291476) × R
    2.8549999999905e-05 × 6371000     		dl = 181.892049999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93288621--0.93291476) × R
    2.8549999999905e-05 × 6371000     		dr = 181.892049999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35065842--0.35061048) × cos(-0.93288621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595517851970876 × 6371000     		do = 181.886480621507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35065842--0.35061048) × cos(-0.93291476) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59549491631196 × 6371000     		du = 181.87947548091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93288621)-sin(-0.93291476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595517851970876-0.59549491631196)×R²
    abs(-0.35061048--0.35065842)×2.2935658915868e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2935658915868e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2935658915868e-05×40589641000000     		ar = 33083.0677400459m²