Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58219 / 87730
↖ ↑ ↗
← S 51.920556°
W 20.096740°		 ← 188.33 m → S 51.920556°
W 20.093994°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
S 51.922250°
W 20.096740°		 ← 188.33 m →
35 467 m²		 S 51.922250°
W 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444179534912109 y=0.669330596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444179534912109 × 217)
    floor (0.444179534912109 × 131072)
    floor (58219.5)     		tx = 58219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669330596923828 × 217)
    floor (0.669330596923828 × 131072)
    floor (87730.5)     		ty = 87730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58219 / 87730 ti = "17/58219/87730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58219/87730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58219 ÷ 217
    58219 ÷ 131072     		x = 0.444175720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87730 ÷ 217
    87730 ÷ 131072     		y = 0.669326782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444175720214844 × 2 - 1) × π
    -0.111648559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35075429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669326782226562 × 2 - 1) × π
    -0.338653564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06391155016753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35075429} λ = -0.35075429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06391155016753))-π/2
    2×atan(0.345103278020615)-π/2
    2×0.332305840670367-π/2
    0.664611681340734-1.57079632675     		φ = -0.90618465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35075429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.096740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90618465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.920556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58219 KachelY 87730 -0.35075429 -0.90618465 -20.096740 -51.920556
    Oben rechts KachelX + 1 58220 KachelY 87730 -0.35070636 -0.90618465 -20.093994 -51.920556
    Unten links KachelX 58219 KachelY + 1 87731 -0.35075429 -0.90621421 -20.096740 -51.922250
    Unten rechts KachelX + 1 58220 KachelY + 1 87731 -0.35070636 -0.90621421 -20.093994 -51.922250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90618465--0.90621421) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90618465--0.90621421) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35075429--0.35070636) × cos(-0.90618465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616753508162928 × 6371000     		do = 188.333103262368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35075429--0.35070636) × cos(-0.90621421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61673023955194 × 6371000     		du = 188.325997912082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90618465)-sin(-0.90621421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616753508162928-0.61673023955194)×R²
    abs(-0.35070636--0.35075429)×2.32686109880031e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32686109880031e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32686109880031e-05×40589641000000     		ar = 35467.4940769847m²