Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58219 / 87727
↖ ↑ ↗
← S 51.915473°
W 20.096740°		 ← 188.35 m → S 51.915473°
W 20.093994°		 →
↑
188.39 m
↓
↑
188.39 m
↓
S 51.917167°
W 20.096740°		 ← 188.35 m →
35 484 m²		 S 51.917167°
W 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444179534912109 y=0.669307708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444179534912109 × 217)
    floor (0.444179534912109 × 131072)
    floor (58219.5)     		tx = 58219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669307708740234 × 217)
    floor (0.669307708740234 × 131072)
    floor (87727.5)     		ty = 87727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58219 / 87727 ti = "17/58219/87727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58219/87727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58219 ÷ 217
    58219 ÷ 131072     		x = 0.444175720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87727 ÷ 217
    87727 ÷ 131072     		y = 0.669303894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444175720214844 × 2 - 1) × π
    -0.111648559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35075429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669303894042969 × 2 - 1) × π
    -0.338607788085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06376773946867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35075429} λ = -0.35075429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06376773946867))-π/2
    2×atan(0.345152911133007)-π/2
    2×0.332350191057301-π/2
    0.664700382114601-1.57079632675     		φ = -0.90609594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35075429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.096740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90609594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.915473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58219 KachelY 87727 -0.35075429 -0.90609594 -20.096740 -51.915473
    Oben rechts KachelX + 1 58220 KachelY 87727 -0.35070636 -0.90609594 -20.093994 -51.915473
    Unten links KachelX 58219 KachelY + 1 87728 -0.35075429 -0.90612551 -20.096740 -51.917167
    Unten rechts KachelX + 1 58220 KachelY + 1 87728 -0.35070636 -0.90612551 -20.093994 -51.917167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90609594--0.90612551) × R
    2.95699999999233e-05 × 6371000     		dl = 188.390469999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90609594--0.90612551) × R
    2.95699999999233e-05 × 6371000     		dr = 188.390469999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35075429--0.35070636) × cos(-0.90609594) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616823334375368 × 6371000     		do = 188.354425536346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35075429--0.35070636) × cos(-0.90612551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616800059510535 × 6371000     		du = 188.347318276373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90609594)-sin(-0.90612551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616823334375368-0.616800059510535)×R²
    abs(-0.35070636--0.35075429)×2.32748648327785e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32748648327785e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32748648327785e-05×40589641000000     		ar = 35483.5092859227m²