Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58218 / 88922
↖ ↑ ↗
← S 53.894628°
W 20.099487°		 ← 179.98 m → S 53.894628°
W 20.096740°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 53.896247°
W 20.099487°		 ← 179.97 m →
32 392 m²		 S 53.896247°
W 20.096740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444171905517578 y=0.678424835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444171905517578 × 217)
    floor (0.444171905517578 × 131072)
    floor (58218.5)     		tx = 58218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678424835205078 × 217)
    floor (0.678424835205078 × 131072)
    floor (88922.5)     		ty = 88922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58218 / 88922 ti = "17/58218/88922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58218/88922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58218 ÷ 217
    58218 ÷ 131072     		x = 0.444168090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88922 ÷ 217
    88922 ÷ 131072     		y = 0.678421020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444168090820312 × 2 - 1) × π
    -0.111663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35080223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678421020507812 × 2 - 1) × π
    -0.356842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12105233451463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35080223} λ = -0.35080223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12105233451463))-π/2
    2×atan(0.325936619732791)-π/2
    2×0.315078806226569-π/2
    0.630157612453138-1.57079632675     		φ = -0.94063871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35080223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.099487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94063871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.894628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58218 KachelY 88922 -0.35080223 -0.94063871 -20.099487 -53.894628
    Oben rechts KachelX + 1 58219 KachelY 88922 -0.35075429 -0.94063871 -20.096740 -53.894628
    Unten links KachelX 58218 KachelY + 1 88923 -0.35080223 -0.94066696 -20.099487 -53.896247
    Unten rechts KachelX + 1 58219 KachelY + 1 88923 -0.35075429 -0.94066696 -20.096740 -53.896247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94063871--0.94066696) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dl = 179.980750000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94063871--0.94066696) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dr = 179.980750000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35080223--0.35075429) × cos(-0.94063871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589272109329713 × 6371000     		do = 179.978870053271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35080223--0.35075429) × cos(-0.94066696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589249284941022 × 6371000     		du = 179.971898897464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94063871)-sin(-0.94066696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589272109329713-0.589249284941022)×R²
    abs(-0.35075429--0.35080223)×2.28243886915003e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28243886915003e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28243886915003e-05×40589641000000     		ar = 32392.1046816996m²