Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58215 / 89576
↖ ↑ ↗
← S 54.939766°
W 20.107727°		 ← 175.41 m → S 54.939766°
W 20.104981°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
S 54.941344°
W 20.107727°		 ← 175.40 m →
30 777 m²		 S 54.941344°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444149017333984 y=0.683414459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444149017333984 × 217)
    floor (0.444149017333984 × 131072)
    floor (58215.5)     		tx = 58215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683414459228516 × 217)
    floor (0.683414459228516 × 131072)
    floor (89576.5)     		ty = 89576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58215 / 89576 ti = "17/58215/89576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58215/89576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58215 ÷ 217
    58215 ÷ 131072     		x = 0.444145202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89576 ÷ 217
    89576 ÷ 131072     		y = 0.68341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444145202636719 × 2 - 1) × π
    -0.111709594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35094604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.3668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15240306686615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35094604} λ = -0.35094604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15240306686615))-π/2
    2×atan(0.315876783564045)-π/2
    2×0.305958262025389-π/2
    0.611916524050779-1.57079632675     		φ = -0.95887980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35094604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.107727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95887980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.939766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58215 KachelY 89576 -0.35094604 -0.95887980 -20.107727 -54.939766
    Oben rechts KachelX + 1 58216 KachelY 89576 -0.35089811 -0.95887980 -20.104981 -54.939766
    Unten links KachelX 58215 KachelY + 1 89577 -0.35094604 -0.95890734 -20.107727 -54.941344
    Unten rechts KachelX + 1 58216 KachelY + 1 89577 -0.35089811 -0.95890734 -20.104981 -54.941344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95887980--0.95890734) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dl = 175.457340000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95887980--0.95890734) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dr = 175.457340000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(-0.95887980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57443728443517 × 6371000     		do = 175.411335282918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(-0.95890734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57441474138896 × 6371000     		du = 175.404451492565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95887980)-sin(-0.95890734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57443728443517-0.57441474138896)×R²
    abs(-0.35089811--0.35094604)×2.25430462100773e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25430462100773e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25430462100773e-05×40589641000000     		ar = 30776.6023907899m²