Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58215 / 88794
↖ ↑ ↗
← S 53.686949°
W 20.107727°		 ← 180.83 m → S 53.686949°
W 20.104981°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
S 53.688575°
W 20.107727°		 ← 180.83 m →
32 696 m²		 S 53.688575°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444149017333984 y=0.677448272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444149017333984 × 217)
    floor (0.444149017333984 × 131072)
    floor (58215.5)     		tx = 58215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677448272705078 × 217)
    floor (0.677448272705078 × 131072)
    floor (88794.5)     		ty = 88794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58215 / 88794 ti = "17/58215/88794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58215/88794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58215 ÷ 217
    58215 ÷ 131072     		x = 0.444145202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88794 ÷ 217
    88794 ÷ 131072     		y = 0.677444458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444145202636719 × 2 - 1) × π
    -0.111709594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35094604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677444458007812 × 2 - 1) × π
    -0.354888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11491641136327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35094604} λ = -0.35094604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11491641136327))-π/2
    2×atan(0.32794269003633)-π/2
    2×0.316891155030824-π/2
    0.633782310061648-1.57079632675     		φ = -0.93701402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35094604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.107727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93701402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.686949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58215 KachelY 88794 -0.35094604 -0.93701402 -20.107727 -53.686949
    Oben rechts KachelX + 1 58216 KachelY 88794 -0.35089811 -0.93701402 -20.104981 -53.686949
    Unten links KachelX 58215 KachelY + 1 88795 -0.35094604 -0.93704240 -20.107727 -53.688575
    Unten rechts KachelX + 1 58216 KachelY + 1 88795 -0.35089811 -0.93704240 -20.104981 -53.688575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93701402--0.93704240) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dl = 180.808980000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93701402--0.93704240) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dr = 180.808980000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(-0.93701402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592196744488808 × 6371000     		do = 180.834400056604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(-0.93704240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592173875833417 × 6371000     		du = 180.827416837571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93701402)-sin(-0.93704240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592196744488808-0.592173875833417)×R²
    abs(-0.35089811--0.35094604)×2.28686553910284e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28686553910284e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28686553910284e-05×40589641000000     		ar = 32695.8521109723m²