Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58214 / 89436
↖ ↑ ↗
← S 54.718275°
W 20.110474°		 ← 176.41 m → S 54.718275°
W 20.107727°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
S 54.719862°
W 20.110474°		 ← 176.41 m →
31 121 m²		 S 54.719862°
W 20.107727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444141387939453 y=0.682346343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444141387939453 × 217)
    floor (0.444141387939453 × 131072)
    floor (58214.5)     		tx = 58214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682346343994141 × 217)
    floor (0.682346343994141 × 131072)
    floor (89436.5)     		ty = 89436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58214 / 89436 ti = "17/58214/89436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58214/89436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58214 ÷ 217
    58214 ÷ 131072     		x = 0.444137573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89436 ÷ 217
    89436 ÷ 131072     		y = 0.682342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444137573242188 × 2 - 1) × π
    -0.111724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35099398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.36468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14569190091934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35099398} λ = -0.35099398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14569190091934))-π/2
    2×atan(0.318003814522751)-π/2
    2×0.307891133366337-π/2
    0.615782266732675-1.57079632675     		φ = -0.95501406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35099398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.110474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95501406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.718275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58214 KachelY 89436 -0.35099398 -0.95501406 -20.110474 -54.718275
    Oben rechts KachelX + 1 58215 KachelY 89436 -0.35094604 -0.95501406 -20.107727 -54.718275
    Unten links KachelX 58214 KachelY + 1 89437 -0.35099398 -0.95504175 -20.110474 -54.719862
    Unten rechts KachelX + 1 58215 KachelY + 1 89437 -0.35094604 -0.95504175 -20.107727 -54.719862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95501406--0.95504175) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95501406--0.95504175) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35099398--0.35094604) × cos(-0.95501406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577597280434319 × 6371000     		do = 176.413076798524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35099398--0.35094604) × cos(-0.95504175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577574676260544 × 6371000     		du = 176.406172902021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95501406)-sin(-0.95504175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577597280434319-0.577574676260544)×R²
    abs(-0.35094604--0.35099398)×2.26041737756422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26041737756422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26041737756422e-05×40589641000000     		ar = 31120.9493867532m²