Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58212 / 88984
↖ ↑ ↗
← S 53.994854°
W 20.115967°		 ← 179.51 m → S 53.994854°
W 20.113220°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 53.996469°
W 20.115967°		 ← 179.50 m →
32 228 m²		 S 53.996469°
W 20.113220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444126129150391 y=0.678897857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444126129150391 × 217)
    floor (0.444126129150391 × 131072)
    floor (58212.5)     		tx = 58212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678897857666016 × 217)
    floor (0.678897857666016 × 131072)
    floor (88984.5)     		ty = 88984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58212 / 88984 ti = "17/58212/88984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58212/88984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58212 ÷ 217
    58212 ÷ 131072     		x = 0.444122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88984 ÷ 217
    88984 ÷ 131072     		y = 0.67889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35108985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.3577880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12402442229108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35108985} λ = -0.35108985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12402442229108))-π/2
    2×atan(0.3249693456132)-π/2
    2×0.314204172990031-π/2
    0.628408345980062-1.57079632675     		φ = -0.94238798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35108985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.115967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94238798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.994854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58212 KachelY 88984 -0.35108985 -0.94238798 -20.115967 -53.994854
    Oben rechts KachelX + 1 58213 KachelY 88984 -0.35104192 -0.94238798 -20.113220 -53.994854
    Unten links KachelX 58212 KachelY + 1 88985 -0.35108985 -0.94241616 -20.115967 -53.996469
    Unten rechts KachelX + 1 58213 KachelY + 1 88985 -0.35104192 -0.94241616 -20.113220 -53.996469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94238798--0.94241616) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dl = 179.534779999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94238798--0.94241616) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dr = 179.534779999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35108985--0.35104192) × cos(-0.94238798) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587857912654176 × 6371000     		do = 179.509485559544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35108985--0.35104192) × cos(-0.94241616) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.587835115809651 × 6371000     		du = 179.502524268822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94238798)-sin(-0.94241616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587857912654176-0.587835115809651)×R²
    abs(-0.35104192--0.35108985)×2.2796844524553e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2796844524553e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2796844524553e-05×40589641000000     		ar = 32227.5711028366m²