Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58211 / 88987
↖ ↑ ↗
← S 53.999698°
W 20.118713°		 ← 179.53 m → S 53.999698°
W 20.115967°		 →
↑
179.47 m
↓
↑
179.47 m
↓
S 54.001312°
W 20.118713°		 ← 179.52 m →
32 219 m²		 S 54.001312°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444118499755859 y=0.678920745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		tx = 58211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678920745849609 × 217)
    floor (0.678920745849609 × 131072)
    floor (88987.5)     		ty = 88987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58211 / 88987 ti = "17/58211/88987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58211/88987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		x = 0.444114685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88987 ÷ 217
    88987 ÷ 131072     		y = 0.678916931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    -0.111770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35113779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678916931152344 × 2 - 1) × π
    -0.357833862304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.12416823298994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35113779} λ = -0.35113779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12416823298994))-π/2
    2×atan(0.324922614904768)-π/2
    2×0.314161905320214-π/2
    0.628323810640428-1.57079632675     		φ = -0.94247252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35113779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94247252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.999698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58211 KachelY 88987 -0.35113779 -0.94247252 -20.118713 -53.999698
    Oben rechts KachelX + 1 58212 KachelY 88987 -0.35108985 -0.94247252 -20.115967 -53.999698
    Unten links KachelX 58211 KachelY + 1 88988 -0.35113779 -0.94250069 -20.118713 -54.001312
    Unten rechts KachelX + 1 58212 KachelY + 1 88988 -0.35108985 -0.94250069 -20.115967 -54.001312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94247252--0.94250069) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dl = 179.471069999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94247252--0.94250069) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dr = 179.471069999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.94247252) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587789520720198 × 6371000     		do = 179.526049330302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.94250069) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587766730565611 × 6371000     		du = 179.519088630473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94247252)-sin(-0.94250069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587789520720198-0.587766730565611)×R²
    abs(-0.35108985--0.35113779)×2.27901545872822e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27901545872822e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27901545872822e-05×40589641000000     		ar = 32219.1075462152m²