Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58211 / 88737
↖ ↑ ↗
← S 53.594135°
W 20.118713°		 ← 181.27 m → S 53.594135°
W 20.115967°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
S 53.595765°
W 20.118713°		 ← 181.26 m →
32 856 m²		 S 53.595765°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444118499755859 y=0.677013397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		tx = 58211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677013397216797 × 217)
    floor (0.677013397216797 × 131072)
    floor (88737.5)     		ty = 88737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58211 / 88737 ti = "17/58211/88737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58211/88737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		x = 0.444114685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88737 ÷ 217
    88737 ÷ 131072     		y = 0.677009582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    -0.111770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35113779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677009582519531 × 2 - 1) × π
    -0.354019165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.11218400808492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35113779} λ = -0.35113779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11218400808492))-π/2
    2×atan(0.328839987048072)-π/2
    2×0.3177011061726-π/2
    0.6354022123452-1.57079632675     		φ = -0.93539411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35113779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93539411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.594135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58211 KachelY 88737 -0.35113779 -0.93539411 -20.118713 -53.594135
    Oben rechts KachelX + 1 58212 KachelY 88737 -0.35108985 -0.93539411 -20.115967 -53.594135
    Unten links KachelX 58211 KachelY + 1 88738 -0.35113779 -0.93542256 -20.118713 -53.595765
    Unten rechts KachelX + 1 58212 KachelY + 1 88738 -0.35108985 -0.93542256 -20.115967 -53.595765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93539411--0.93542256) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dl = 181.254950000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93539411--0.93542256) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dr = 181.254950000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.93539411) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59350127972286 × 6371000     		do = 181.270567550393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.93542256) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593478381982531 × 6371000     		du = 181.263573991108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93539411)-sin(-0.93542256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59350127972286-0.593478381982531)×R²
    abs(-0.35108985--0.35113779)×2.28977403293751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28977403293751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28977403293751e-05×40589641000000     		ar = 32855.5538515221m²