Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 89952
↖ ↑ ↗
← S 55.528630°
W 20.121460°		 ← 172.87 m → S 55.528630°
W 20.118713°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
S 55.530185°
W 20.121460°		 ← 172.86 m →
29 879 m²		 S 55.530185°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.686283111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686283111572266 × 217)
    floor (0.686283111572266 × 131072)
    floor (89952.5)     		ty = 89952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 89952 ti = "17/58210/89952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/89952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89952 ÷ 217
    89952 ÷ 131072     		y = 0.686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.37255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17042734112329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17042734112329))-π/2
    2×atan(0.310234337043809)-π/2
    2×0.300819447535766-π/2
    0.601638895071532-1.57079632675     		φ = -0.96915743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96915743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.528630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 89952 -0.35118573 -0.96915743 -20.121460 -55.528630
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 89952 -0.35113779 -0.96915743 -20.118713 -55.528630
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 89953 -0.35118573 -0.96918456 -20.121460 -55.530185
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 89953 -0.35113779 -0.96918456 -20.118713 -55.530185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96915743--0.96918456) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96915743--0.96918456) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.96915743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565994354373708 × 6371000     		do = 172.869244520299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.96918456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565971987946093 × 6371000     		du = 172.862413237593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96915743)-sin(-0.96918456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565994354373708-0.565971987946093)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×2.23664276151059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23664276151059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23664276151059e-05×40589641000000     		ar = 29879.0339536036m²