Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58206 / 88933
↖ ↑ ↗
← S 53.912428°
W 20.132446°		 ← 179.86 m → S 53.912428°
W 20.129700°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
S 53.914046°
W 20.132446°		 ← 179.86 m →
32 360 m²		 S 53.914046°
W 20.129700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444080352783203 y=0.678508758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444080352783203 × 217)
    floor (0.444080352783203 × 131072)
    floor (58206.5)     		tx = 58206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678508758544922 × 217)
    floor (0.678508758544922 × 131072)
    floor (88933.5)     		ty = 88933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58206 / 88933 ti = "17/58206/88933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58206/88933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58206 ÷ 217
    58206 ÷ 131072     		x = 0.444076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88933 ÷ 217
    88933 ÷ 131072     		y = 0.678504943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444076538085938 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35137747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678504943847656 × 2 - 1) × π
    -0.357009887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.12157964041045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35137747} λ = -0.35137747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12157964041045))-π/2
    2×atan(0.325764796737162)-π/2
    2×0.314923475991166-π/2
    0.629846951982331-1.57079632675     		φ = -0.94094937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35137747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.132446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94094937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.912428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58206 KachelY 88933 -0.35137747 -0.94094937 -20.132446 -53.912428
    Oben rechts KachelX + 1 58207 KachelY 88933 -0.35132954 -0.94094937 -20.129700 -53.912428
    Unten links KachelX 58206 KachelY + 1 88934 -0.35137747 -0.94097761 -20.132446 -53.914046
    Unten rechts KachelX + 1 58207 KachelY + 1 88934 -0.35132954 -0.94097761 -20.129700 -53.914046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94094937--0.94097761) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94094937--0.94097761) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.94094937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589021087923529 × 6371000     		do = 179.864675121247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.94097761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588998266445844 × 6371000     		du = 179.857706308494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94094937)-sin(-0.94097761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589021087923529-0.588998266445844)×R²
    abs(-0.35132954--0.35137747)×2.28214776842872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28214776842872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28214776842872e-05×40589641000000     		ar = 32360.0930463388m²