Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58200 / 88584
↖ ↑ ↗
← S 53.343993°
W 20.148926°		 ← 182.34 m → S 53.343993°
W 20.146179°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
S 53.345633°
W 20.148926°		 ← 182.34 m →
33 247 m²		 S 53.345633°
W 20.146179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444034576416016 y=0.675846099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444034576416016 × 217)
    floor (0.444034576416016 × 131072)
    floor (58200.5)     		tx = 58200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675846099853516 × 217)
    floor (0.675846099853516 × 131072)
    floor (88584.5)     		ty = 88584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58200 / 88584 ti = "17/58200/88584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58200/88584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58200 ÷ 217
    58200 ÷ 131072     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88584 ÷ 217
    88584 ÷ 131072     		y = 0.67584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.3516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10484966244305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10484966244305))-π/2
    2×atan(0.33126067941995)-π/2
    2×0.319884007429171-π/2
    0.639768014858343-1.57079632675     		φ = -0.93102831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93102831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.343993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58200 KachelY 88584 -0.35166510 -0.93102831 -20.148926 -53.343993
    Oben rechts KachelX + 1 58201 KachelY 88584 -0.35161716 -0.93102831 -20.146179 -53.343993
    Unten links KachelX 58200 KachelY + 1 88585 -0.35166510 -0.93105693 -20.148926 -53.345633
    Unten rechts KachelX + 1 58201 KachelY + 1 88585 -0.35161716 -0.93105693 -20.146179 -53.345633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93102831--0.93105693) × R
    2.86200000000347e-05 × 6371000     		dl = 182.338020000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93102831--0.93105693) × R
    2.86200000000347e-05 × 6371000     		dr = 182.338020000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35161716) × cos(-0.93102831) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59700935254995 × 6371000     		do = 182.342023289581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35161716) × cos(-0.93105693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596986392360479 × 6371000     		du = 182.335010656721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93102831)-sin(-0.93105693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59700935254995-0.596986392360479)×R²
    abs(-0.35161716--0.35166510)×2.29601894713438e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29601894713438e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29601894713438e-05×40589641000000     		ar = 33247.2441567704m²