Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58198 / 88914
↖ ↑ ↗
← S 53.881679°
W 20.154419°		 ← 180.03 m → S 53.881679°
W 20.151672°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 53.883297°
W 20.154419°		 ← 180.03 m →
32 402 m²		 S 53.883297°
W 20.151672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444019317626953 y=0.678363800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444019317626953 × 217)
    floor (0.444019317626953 × 131072)
    floor (58198.5)     		tx = 58198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678363800048828 × 217)
    floor (0.678363800048828 × 131072)
    floor (88914.5)     		ty = 88914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58198 / 88914 ti = "17/58198/88914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58198/88914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58198 ÷ 217
    58198 ÷ 131072     		x = 0.444015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88914 ÷ 217
    88914 ÷ 131072     		y = 0.678359985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444015502929688 × 2 - 1) × π
    -0.111968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35176097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678359985351562 × 2 - 1) × π
    -0.356719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12066883931767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35176097} λ = -0.35176097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12066883931767))-π/2
    2×atan(0.326061638831551)-π/2
    2×0.315191815243149-π/2
    0.630383630486299-1.57079632675     		φ = -0.94041270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35176097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.154419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94041270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.881679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58198 KachelY 88914 -0.35176097 -0.94041270 -20.154419 -53.881679
    Oben rechts KachelX + 1 58199 KachelY 88914 -0.35171303 -0.94041270 -20.151672 -53.881679
    Unten links KachelX 58198 KachelY + 1 88915 -0.35176097 -0.94044095 -20.154419 -53.883297
    Unten rechts KachelX + 1 58199 KachelY + 1 88915 -0.35171303 -0.94044095 -20.151672 -53.883297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94041270--0.94044095) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dl = 179.980750000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94041270--0.94044095) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dr = 179.980750000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35176097--0.35171303) × cos(-0.94041270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589454695585794 × 6371000     		do = 180.034636595856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35176097--0.35171303) × cos(-0.94044095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589431874959987 × 6371000     		du = 180.027666589332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94041270)-sin(-0.94044095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589454695585794-0.589431874959987)×R²
    abs(-0.35171303--0.35176097)×2.28206258071628e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28206258071628e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28206258071628e-05×40589641000000     		ar = 32402.1416891649m²