Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58194 / 90023
↖ ↑ ↗
← S 55.638849°
W 20.165405°		 ← 172.38 m → S 55.638849°
W 20.162659°		 →
↑
172.40 m
↓
↑
172.40 m
↓
S 55.640399°
W 20.165405°		 ← 172.38 m →
29 718 m²		 S 55.640399°
W 20.162659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443988800048828 y=0.686824798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443988800048828 × 217)
    floor (0.443988800048828 × 131072)
    floor (58194.5)     		tx = 58194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686824798583984 × 217)
    floor (0.686824798583984 × 131072)
    floor (90023.5)     		ty = 90023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58194 / 90023 ti = "17/58194/90023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58194/90023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58194 ÷ 217
    58194 ÷ 131072     		x = 0.443984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90023 ÷ 217
    90023 ÷ 131072     		y = 0.686820983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443984985351562 × 2 - 1) × π
    -0.112030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35195272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686820983886719 × 2 - 1) × π
    -0.373641967773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.17383086099632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35195272} λ = -0.35195272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17383086099632))-π/2
    2×atan(0.3091802431447)-π/2
    2×0.299857611651328-π/2
    0.599715223302656-1.57079632675     		φ = -0.97108110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35195272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.165405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97108110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.638849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58194 KachelY 90023 -0.35195272 -0.97108110 -20.165405 -55.638849
    Oben rechts KachelX + 1 58195 KachelY 90023 -0.35190478 -0.97108110 -20.162659 -55.638849
    Unten links KachelX 58194 KachelY + 1 90024 -0.35195272 -0.97110816 -20.165405 -55.640399
    Unten rechts KachelX + 1 58195 KachelY + 1 90024 -0.35190478 -0.97110816 -20.162659 -55.640399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97108110--0.97110816) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dl = 172.399259999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97108110--0.97110816) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dr = 172.399259999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35195272--0.35190478) × cos(-0.97108110) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564407417034808 × 6371000     		do = 172.384553009431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35195272--0.35190478) × cos(-0.97110816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564385078896221 × 6371000     		du = 172.377730366923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97108110)-sin(-0.97110816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564407417034808-0.564385078896221)×R²
    abs(-0.35190478--0.35195272)×2.23381385869859e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23381385869859e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23381385869859e-05×40589641000000     		ar = 29718.3812668785m²