Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58193 / 88978
↖ ↑ ↗
← S 53.985165°
W 20.168152°		 ← 179.55 m → S 53.985165°
W 20.165405°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
S 53.986780°
W 20.168152°		 ← 179.54 m →
32 247 m²		 S 53.986780°
W 20.165405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443981170654297 y=0.678852081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443981170654297 × 217)
    floor (0.443981170654297 × 131072)
    floor (58193.5)     		tx = 58193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678852081298828 × 217)
    floor (0.678852081298828 × 131072)
    floor (88978.5)     		ty = 88978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58193 / 88978 ti = "17/58193/88978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58193/88978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58193 ÷ 217
    58193 ÷ 131072     		x = 0.443977355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88978 ÷ 217
    88978 ÷ 131072     		y = 0.678848266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443977355957031 × 2 - 1) × π
    -0.112045288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35200065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678848266601562 × 2 - 1) × π
    -0.357696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12373680089336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35200065} λ = -0.35200065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12373680089336))-π/2
    2×atan(0.325062827193608)-π/2
    2×0.314288723082765-π/2
    0.628577446165531-1.57079632675     		φ = -0.94221888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35200065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.168152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94221888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.985165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58193 KachelY 88978 -0.35200065 -0.94221888 -20.168152 -53.985165
    Oben rechts KachelX + 1 58194 KachelY 88978 -0.35195272 -0.94221888 -20.165405 -53.985165
    Unten links KachelX 58193 KachelY + 1 88979 -0.35200065 -0.94224707 -20.168152 -53.986780
    Unten rechts KachelX + 1 58194 KachelY + 1 88979 -0.35195272 -0.94224707 -20.165405 -53.986780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94221888--0.94224707) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94221888--0.94224707) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35200065--0.35195272) × cos(-0.94221888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587994700094655 × 6371000     		do = 179.551255250255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35200065--0.35195272) × cos(-0.94224707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587971897962872 × 6371000     		du = 179.544292345005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94221888)-sin(-0.94224707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587994700094655-0.587971897962872)×R²
    abs(-0.35195272--0.35200065)×2.2802131783628e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2802131783628e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2802131783628e-05×40589641000000     		ar = 32246.5090590821m²