Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58193 / 88920
↖ ↑ ↗
← S 53.891391°
W 20.168152°		 ← 179.96 m → S 53.891391°
W 20.165405°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 53.893010°
W 20.168152°		 ← 179.95 m →
32 388 m²		 S 53.893010°
W 20.165405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443981170654297 y=0.678409576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443981170654297 × 217)
    floor (0.443981170654297 × 131072)
    floor (58193.5)     		tx = 58193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678409576416016 × 217)
    floor (0.678409576416016 × 131072)
    floor (88920.5)     		ty = 88920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58193 / 88920 ti = "17/58193/88920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58193/88920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58193 ÷ 217
    58193 ÷ 131072     		x = 0.443977355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88920 ÷ 217
    88920 ÷ 131072     		y = 0.67840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443977355957031 × 2 - 1) × π
    -0.112045288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35200065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12095646071539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35200065} λ = -0.35200065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12095646071539))-π/2
    2×atan(0.325967870012853)-π/2
    2×0.315107055198405-π/2
    0.63021411039681-1.57079632675     		φ = -0.94058222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35200065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.168152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94058222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.891391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58193 KachelY 88920 -0.35200065 -0.94058222 -20.168152 -53.891391
    Oben rechts KachelX + 1 58194 KachelY 88920 -0.35195272 -0.94058222 -20.165405 -53.891391
    Unten links KachelX 58193 KachelY + 1 88921 -0.35200065 -0.94061047 -20.168152 -53.893010
    Unten rechts KachelX + 1 58194 KachelY + 1 88921 -0.35195272 -0.94061047 -20.165405 -53.893010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94058222--0.94061047) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dl = 179.980749999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94058222--0.94061047) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dr = 179.980749999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35200065--0.35195272) × cos(-0.94058222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589317748617236 × 6371000     		do = 179.955264032899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35200065--0.35195272) × cos(-0.94061047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589294925168949 × 6371000     		du = 179.948294618398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94058222)-sin(-0.94061047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589317748617236-0.589294925168949)×R²
    abs(-0.35195272--0.35200065)×2.28234482877454e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28234482877454e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28234482877454e-05×40589641000000     		ar = 32387.8562090263m²