Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58190 / 90092
↖ ↑ ↗
← S 55.745666°
W 20.176391°		 ← 171.88 m → S 55.745666°
W 20.173645°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
S 55.747212°
W 20.176391°		 ← 171.87 m →
29 544 m²		 S 55.747212°
W 20.173645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443958282470703 y=0.687351226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443958282470703 × 217)
    floor (0.443958282470703 × 131072)
    floor (58190.5)     		tx = 58190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687351226806641 × 217)
    floor (0.687351226806641 × 131072)
    floor (90092.5)     		ty = 90092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58190 / 90092 ti = "17/58190/90092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58190/90092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58190 ÷ 217
    58190 ÷ 131072     		x = 0.443954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90092 ÷ 217
    90092 ÷ 131072     		y = 0.687347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    -0.112091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35214446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.37469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1771385070701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35214446} λ = -0.35214446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1771385070701))-π/2
    2×atan(0.308159273760886)-π/2
    2×0.298925455390788-π/2
    0.597850910781575-1.57079632675     		φ = -0.97294542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35214446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.176391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97294542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.745666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58190 KachelY 90092 -0.35214446 -0.97294542 -20.176391 -55.745666
    Oben rechts KachelX + 1 58191 KachelY 90092 -0.35209653 -0.97294542 -20.173645 -55.745666
    Unten links KachelX 58190 KachelY + 1 90093 -0.35214446 -0.97297240 -20.176391 -55.747212
    Unten rechts KachelX + 1 58191 KachelY + 1 90093 -0.35209653 -0.97297240 -20.173645 -55.747212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97294542--0.97297240) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97294542--0.97297240) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35214446--0.35209653) × cos(-0.97294542) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.562867447669641 × 6371000     		do = 171.878346441227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35214446--0.35209653) × cos(-0.97297240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.562845147221938 × 6371000     		du = 171.871536731246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97294542)-sin(-0.97297240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562867447669641-0.562845147221938)×R²
    abs(-0.35209653--0.35214446)×2.23004477030164e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23004477030164e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23004477030164e-05×40589641000000     		ar = 29543.5115236613m²