Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58190 / 88902
↖ ↑ ↗
← S 53.862246°
W 20.176391°		 ← 180.08 m → S 53.862246°
W 20.173645°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 53.863866°
W 20.176391°		 ← 180.07 m →
32 433 m²		 S 53.863866°
W 20.173645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443958282470703 y=0.678272247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443958282470703 × 217)
    floor (0.443958282470703 × 131072)
    floor (58190.5)     		tx = 58190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678272247314453 × 217)
    floor (0.678272247314453 × 131072)
    floor (88902.5)     		ty = 88902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58190 / 88902 ti = "17/58190/88902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58190/88902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58190 ÷ 217
    58190 ÷ 131072     		x = 0.443954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88902 ÷ 217
    88902 ÷ 131072     		y = 0.678268432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    -0.112091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35214446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678268432617188 × 2 - 1) × π
    -0.356536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12009359652223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35214446} λ = -0.35214446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12009359652223))-π/2
    2×atan(0.3262492573981)-π/2
    2×0.315361394421335-π/2
    0.63072278884267-1.57079632675     		φ = -0.94007354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35214446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.176391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94007354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.862246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58190 KachelY 88902 -0.35214446 -0.94007354 -20.176391 -53.862246
    Oben rechts KachelX + 1 58191 KachelY 88902 -0.35209653 -0.94007354 -20.173645 -53.862246
    Unten links KachelX 58190 KachelY + 1 88903 -0.35214446 -0.94010181 -20.176391 -53.863866
    Unten rechts KachelX + 1 58191 KachelY + 1 88903 -0.35209653 -0.94010181 -20.173645 -53.863866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94007354--0.94010181) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dl = 180.108170000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94007354--0.94010181) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dr = 180.108170000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35214446--0.35209653) × cos(-0.94007354) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589728635613622 × 6371000     		do = 180.080733320008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35214446--0.35209653) × cos(-0.94010181) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.58970580448438 × 6371000     		du = 180.073761560035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94007354)-sin(-0.94010181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589728635613622-0.58970580448438)×R²
    abs(-0.35209653--0.35214446)×2.28311292421735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28311292421735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28311292421735e-05×40589641000000     		ar = 32433.3834973351m²