Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58186 / 89598
↖ ↑ ↗
← S 54.974461°
W 20.187378°		 ← 175.26 m → S 54.974461°
W 20.184632°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
S 54.976037°
W 20.187378°		 ← 175.25 m →
30 717 m²		 S 54.976037°
W 20.184632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443927764892578 y=0.683582305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443927764892578 × 217)
    floor (0.443927764892578 × 131072)
    floor (58186.5)     		tx = 58186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683582305908203 × 217)
    floor (0.683582305908203 × 131072)
    floor (89598.5)     		ty = 89598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58186 / 89598 ti = "17/58186/89598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58186/89598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58186 ÷ 217
    58186 ÷ 131072     		x = 0.443923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89598 ÷ 217
    89598 ÷ 131072     		y = 0.683578491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443923950195312 × 2 - 1) × π
    -0.112152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35233621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683578491210938 × 2 - 1) × π
    -0.367156982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15345767865779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35233621} λ = -0.35233621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15345767865779))-π/2
    2×atan(0.31554383178169)-π/2
    2×0.30565548858177-π/2
    0.61131097716354-1.57079632675     		φ = -0.95948535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35233621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.187378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95948535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.974461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58186 KachelY 89598 -0.35233621 -0.95948535 -20.187378 -54.974461
    Oben rechts KachelX + 1 58187 KachelY 89598 -0.35228828 -0.95948535 -20.184632 -54.974461
    Unten links KachelX 58186 KachelY + 1 89599 -0.35233621 -0.95951286 -20.187378 -54.976037
    Unten rechts KachelX + 1 58187 KachelY + 1 89599 -0.35228828 -0.95951286 -20.184632 -54.976037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95948535--0.95951286) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95948535--0.95951286) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35233621--0.35228828) × cos(-0.95948535) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573941507041896 × 6371000     		do = 175.259943691477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35233621--0.35228828) × cos(-0.95951286) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573918978987568 × 6371000     		du = 175.253064479075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95948535)-sin(-0.95951286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573941507041896-0.573918978987568)×R²
    abs(-0.35228828--0.35233621)×2.25280543281192e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25280543281192e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25280543281192e-05×40589641000000     		ar = 30716.543250744m²