Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58186 / 87654
↖ ↑ ↗
← S 51.791630°
W 20.187378°		 ← 188.87 m → S 51.791630°
W 20.184632°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
S 51.793328°
W 20.187378°		 ← 188.87 m →
35 678 m²		 S 51.793328°
W 20.184632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443927764892578 y=0.668750762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443927764892578 × 217)
    floor (0.443927764892578 × 131072)
    floor (58186.5)     		tx = 58186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668750762939453 × 217)
    floor (0.668750762939453 × 131072)
    floor (87654.5)     		ty = 87654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58186 / 87654 ti = "17/58186/87654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58186/87654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58186 ÷ 217
    58186 ÷ 131072     		x = 0.443923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87654 ÷ 217
    87654 ÷ 131072     		y = 0.668746948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443923950195312 × 2 - 1) × π
    -0.112152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35233621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668746948242188 × 2 - 1) × π
    -0.337493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0602683457964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35233621} λ = -0.35233621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0602683457964))-π/2
    2×atan(0.34636285284265)-π/2
    2×0.333430931748847-π/2
    0.666861863497693-1.57079632675     		φ = -0.90393446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35233621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.187378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90393446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.791630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58186 KachelY 87654 -0.35233621 -0.90393446 -20.187378 -51.791630
    Oben rechts KachelX + 1 58187 KachelY 87654 -0.35228828 -0.90393446 -20.184632 -51.791630
    Unten links KachelX 58186 KachelY + 1 87655 -0.35233621 -0.90396411 -20.187378 -51.793328
    Unten rechts KachelX + 1 58187 KachelY + 1 87655 -0.35228828 -0.90396411 -20.184632 -51.793328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90393446--0.90396411) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90393446--0.90396411) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35233621--0.35228828) × cos(-0.90393446) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618523196581941 × 6371000     		do = 188.873498910247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35233621--0.35228828) × cos(-0.90396411) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618499898332156 × 6371000     		du = 188.866384509398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90393446)-sin(-0.90396411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618523196581941-0.618499898332156)×R²
    abs(-0.35228828--0.35233621)×2.32982497846423e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32982497846423e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32982497846423e-05×40589641000000     		ar = 35677.5603220992m²