Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58185 / 89546
↖ ↑ ↗
← S 54.892405°
W 20.190125°		 ← 175.65 m → S 54.892405°
W 20.187378°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
S 54.893985°
W 20.190125°		 ← 175.65 m →
30 853 m²		 S 54.893985°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443920135498047 y=0.683185577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443920135498047 × 217)
    floor (0.443920135498047 × 131072)
    floor (58185.5)     		tx = 58185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683185577392578 × 217)
    floor (0.683185577392578 × 131072)
    floor (89546.5)     		ty = 89546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58185 / 89546 ti = "17/58185/89546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58185/89546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58185 ÷ 217
    58185 ÷ 131072     		x = 0.443916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89546 ÷ 217
    89546 ÷ 131072     		y = 0.683181762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443916320800781 × 2 - 1) × π
    -0.112167358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35238415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683181762695312 × 2 - 1) × π
    -0.366363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15096495987755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35238415} λ = -0.35238415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15096495987755))-π/2
    2×atan(0.316331374971218)-π/2
    2×0.306371556322509-π/2
    0.612743112645018-1.57079632675     		φ = -0.95805321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35238415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.190125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95805321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.892405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58185 KachelY 89546 -0.35238415 -0.95805321 -20.190125 -54.892405
    Oben rechts KachelX + 1 58186 KachelY 89546 -0.35233621 -0.95805321 -20.187378 -54.892405
    Unten links KachelX 58185 KachelY + 1 89547 -0.35238415 -0.95808078 -20.190125 -54.893985
    Unten rechts KachelX + 1 58186 KachelY + 1 89547 -0.35233621 -0.95808078 -20.187378 -54.893985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95805321--0.95808078) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dl = 175.648469999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95805321--0.95808078) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dr = 175.648469999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.95805321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575113692200797 × 6371000     		do = 175.654525024649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.95808078) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575091137696006 × 6371000     		du = 175.647636298333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95805321)-sin(-0.95808078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575113692200797-0.575091137696006)×R²
    abs(-0.35233621--0.35238415)×2.25545047909392e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25545047909392e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25545047909392e-05×40589641000000     		ar = 30852.8435738922m²