Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58185 / 88653
↖ ↑ ↗
← S 53.456985°
W 20.190125°		 ← 181.86 m → S 53.456985°
W 20.187378°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
S 53.458620°
W 20.190125°		 ← 181.85 m →
33 066 m²		 S 53.458620°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443920135498047 y=0.676372528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443920135498047 × 217)
    floor (0.443920135498047 × 131072)
    floor (58185.5)     		tx = 58185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676372528076172 × 217)
    floor (0.676372528076172 × 131072)
    floor (88653.5)     		ty = 88653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58185 / 88653 ti = "17/58185/88653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58185/88653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58185 ÷ 217
    58185 ÷ 131072     		x = 0.443916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88653 ÷ 217
    88653 ÷ 131072     		y = 0.676368713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443916320800781 × 2 - 1) × π
    -0.112167358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35238415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676368713378906 × 2 - 1) × π
    -0.352737426757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.10815730851684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35238415} λ = -0.35238415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10815730851684))-π/2
    2×atan(0.330166796420476)-π/2
    2×0.31889796906011-π/2
    0.637795938120219-1.57079632675     		φ = -0.93300039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35238415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.190125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93300039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.456985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58185 KachelY 88653 -0.35238415 -0.93300039 -20.190125 -53.456985
    Oben rechts KachelX + 1 58186 KachelY 88653 -0.35233621 -0.93300039 -20.187378 -53.456985
    Unten links KachelX 58185 KachelY + 1 88654 -0.35238415 -0.93302893 -20.190125 -53.458620
    Unten rechts KachelX + 1 58186 KachelY + 1 88654 -0.35233621 -0.93302893 -20.187378 -53.458620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93300039--0.93302893) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93300039--0.93302893) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.93300039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595426122491152 × 6371000     		do = 181.858464077282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35238415--0.35233621) × cos(-0.93302893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595403192925402 × 6371000     		du = 181.851460797695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93300039)-sin(-0.93302893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595426122491152-0.595403192925402)×R²
    abs(-0.35233621--0.35238415)×2.29295657506734e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29295657506734e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29295657506734e-05×40589641000000     		ar = 33066.3859429648m²