Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58180 / 89601
↖ ↑ ↗
← S 54.979190°
W 20.203857°		 ← 175.24 m → S 54.979190°
W 20.201111°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
S 54.980766°
W 20.203857°		 ← 175.23 m →
30 713 m²		 S 54.980766°
W 20.201111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443881988525391 y=0.683605194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443881988525391 × 217)
    floor (0.443881988525391 × 131072)
    floor (58180.5)     		tx = 58180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683605194091797 × 217)
    floor (0.683605194091797 × 131072)
    floor (89601.5)     		ty = 89601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58180 / 89601 ti = "17/58180/89601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58180/89601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58180 ÷ 217
    58180 ÷ 131072     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89601 ÷ 217
    89601 ÷ 131072     		y = 0.683601379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683601379394531 × 2 - 1) × π
    -0.367202758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.15360148935665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15360148935665))-π/2
    2×atan(0.315498456465526)-π/2
    2×0.305614221547154-π/2
    0.611228443094308-1.57079632675     		φ = -0.95956788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95956788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.979190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58180 KachelY 89601 -0.35262383 -0.95956788 -20.203857 -54.979190
    Oben rechts KachelX + 1 58181 KachelY 89601 -0.35257590 -0.95956788 -20.201111 -54.979190
    Unten links KachelX 58180 KachelY + 1 89602 -0.35262383 -0.95959539 -20.203857 -54.980766
    Unten rechts KachelX + 1 58181 KachelY + 1 89602 -0.35257590 -0.95959539 -20.201111 -54.980766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95956788--0.95959539) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95956788--0.95959539) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(-0.95956788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.573873921575903 × 6371000     		do = 175.239305656586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(-0.95959539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.5738513922186 × 6371000     		du = 175.232426046305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95956788)-sin(-0.95959539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573873921575903-0.5738513922186)×R²
    abs(-0.35257590--0.35262383)×2.25293573028473e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25293573028473e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25293573028473e-05×40589641000000     		ar = 30712.9260657969m²