Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58180 / 89037
↖ ↑ ↗
← S 54.080340°
W 20.203857°		 ← 179.14 m → S 54.080340°
W 20.201111°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
S 54.081951°
W 20.203857°		 ← 179.13 m →
32 093 m²		 S 54.081951°
W 20.201111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443881988525391 y=0.679302215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443881988525391 × 217)
    floor (0.443881988525391 × 131072)
    floor (58180.5)     		tx = 58180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679302215576172 × 217)
    floor (0.679302215576172 × 131072)
    floor (89037.5)     		ty = 89037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58180 / 89037 ti = "17/58180/89037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58180/89037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58180 ÷ 217
    58180 ÷ 131072     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89037 ÷ 217
    89037 ÷ 131072     		y = 0.679298400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679298400878906 × 2 - 1) × π
    -0.358596801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.12656507797094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12656507797094))-π/2
    2×atan(0.324144758339211)-π/2
    2×0.313458167890266-π/2
    0.626916335780532-1.57079632675     		φ = -0.94387999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94387999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.080340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58180 KachelY 89037 -0.35262383 -0.94387999 -20.203857 -54.080340
    Oben rechts KachelX + 1 58181 KachelY 89037 -0.35257590 -0.94387999 -20.201111 -54.080340
    Unten links KachelX 58180 KachelY + 1 89038 -0.35262383 -0.94390811 -20.203857 -54.081951
    Unten rechts KachelX + 1 58181 KachelY + 1 89038 -0.35257590 -0.94390811 -20.201111 -54.081951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94387999--0.94390811) × R
    2.81199999999648e-05 × 6371000     		dl = 179.152519999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94387999--0.94390811) × R
    2.81199999999648e-05 × 6371000     		dr = 179.152519999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(-0.94387999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586650276114794 × 6371000     		do = 179.140719214584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35257590) × cos(-0.94390811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586627503171153 × 6371000     		du = 179.133765222284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94387999)-sin(-0.94390811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586650276114794-0.586627503171153)×R²
    abs(-0.35257590--0.35262383)×2.27729436410584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27729436410584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27729436410584e-05×40589641000000     		ar = 32092.8883712287m²