Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58178 / 89793
↖ ↑ ↗
← S 55.280680°
W 20.209351°		 ← 173.96 m → S 55.280680°
W 20.206604°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
S 55.282244°
W 20.209351°		 ← 173.95 m →
30 255 m²		 S 55.282244°
W 20.206604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443866729736328 y=0.685070037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443866729736328 × 217)
    floor (0.443866729736328 × 131072)
    floor (58178.5)     		tx = 58178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685070037841797 × 217)
    floor (0.685070037841797 × 131072)
    floor (89793.5)     		ty = 89793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58178 / 89793 ti = "17/58178/89793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58178/89793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58178 ÷ 217
    58178 ÷ 131072     		x = 0.443862915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89793 ÷ 217
    89793 ÷ 131072     		y = 0.685066223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443862915039062 × 2 - 1) × π
    -0.112274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35271971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685066223144531 × 2 - 1) × π
    -0.370132446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.1628053740837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35271971} λ = -0.35271971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1628053740837))-π/2
    2×atan(0.312607967309928)-π/2
    2×0.302983227028675-π/2
    0.605966454057351-1.57079632675     		φ = -0.96482987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35271971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.209351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96482987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.280680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58178 KachelY 89793 -0.35271971 -0.96482987 -20.209351 -55.280680
    Oben rechts KachelX + 1 58179 KachelY 89793 -0.35267177 -0.96482987 -20.206604 -55.280680
    Unten links KachelX 58178 KachelY + 1 89794 -0.35271971 -0.96485717 -20.209351 -55.282244
    Unten rechts KachelX + 1 58179 KachelY + 1 89794 -0.35267177 -0.96485717 -20.206604 -55.282244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96482987--0.96485717) × R
    2.73000000000634e-05 × 6371000     		dl = 173.928300000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96482987--0.96485717) × R
    2.73000000000634e-05 × 6371000     		dr = 173.928300000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35271971--0.35267177) × cos(-0.96482987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569556723253342 × 6371000     		do = 173.957283671715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35271971--0.35267177) × cos(-0.96485717) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569534283750694 × 6371000     		du = 173.950430070013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96482987)-sin(-0.96485717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569556723253342-0.569534283750694)×R²
    abs(-0.35267177--0.35271971)×2.24395026483526e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24395026483526e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24395026483526e-05×40589641000000     		ar = 30255.4986059617m²