Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58173 / 89801
↖ ↑ ↗
← S 55.293192°
W 20.223083°		 ← 173.87 m → S 55.293192°
W 20.220337°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
S 55.294756°
W 20.223083°		 ← 173.86 m →
30 229 m²		 S 55.294756°
W 20.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443828582763672 y=0.685131072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443828582763672 × 217)
    floor (0.443828582763672 × 131072)
    floor (58173.5)     		tx = 58173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685131072998047 × 217)
    floor (0.685131072998047 × 131072)
    floor (89801.5)     		ty = 89801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58173 / 89801 ti = "17/58173/89801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58173/89801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58173 ÷ 217
    58173 ÷ 131072     		x = 0.443824768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89801 ÷ 217
    89801 ÷ 131072     		y = 0.685127258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443824768066406 × 2 - 1) × π
    -0.112350463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35295939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685127258300781 × 2 - 1) × π
    -0.370254516601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.16318886928066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35295939} λ = -0.35295939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16318886928066))-π/2
    2×atan(0.312488106640397)-π/2
    2×0.302874033106759-π/2
    0.605748066213519-1.57079632675     		φ = -0.96504826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35295939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.223083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96504826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.293192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58173 KachelY 89801 -0.35295939 -0.96504826 -20.223083 -55.293192
    Oben rechts KachelX + 1 58174 KachelY 89801 -0.35291146 -0.96504826 -20.220337 -55.293192
    Unten links KachelX 58173 KachelY + 1 89802 -0.35295939 -0.96507555 -20.223083 -55.294756
    Unten rechts KachelX + 1 58174 KachelY + 1 89802 -0.35291146 -0.96507555 -20.220337 -55.294756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96504826--0.96507555) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96504826--0.96507555) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(-0.96504826) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569377203568747 × 6371000     		do = 173.866178717381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35295939--0.35291146) × cos(-0.96507555) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569354768891896 × 6371000     		du = 173.859328018915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96504826)-sin(-0.96507555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569377203568747-0.569354768891896)×R²
    abs(-0.35291146--0.35295939)×2.24346768509243e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24346768509243e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24346768509243e-05×40589641000000     		ar = 30228.5763325467m²