Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58171 / 87558
↖ ↑ ↗
← S 51.628248°
W 20.228577°		 ← 189.60 m → S 51.628248°
W 20.225830°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
S 51.629952°
W 20.228577°		 ← 189.59 m →
35 935 m²		 S 51.629952°
W 20.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443813323974609 y=0.668018341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443813323974609 × 217)
    floor (0.443813323974609 × 131072)
    floor (58171.5)     		tx = 58171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668018341064453 × 217)
    floor (0.668018341064453 × 131072)
    floor (87558.5)     		ty = 87558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58171 / 87558 ti = "17/58171/87558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58171/87558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58171 ÷ 217
    58171 ÷ 131072     		x = 0.443809509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87558 ÷ 217
    87558 ÷ 131072     		y = 0.668014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443809509277344 × 2 - 1) × π
    -0.112380981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35305527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668014526367188 × 2 - 1) × π
    -0.336029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05566640343288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35305527} λ = -0.35305527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05566640343288))-π/2
    2×atan(0.347960467975171)-π/2
    2×0.334856710157516-π/2
    0.669713420315032-1.57079632675     		φ = -0.90108291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35305527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.228577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90108291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.628248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58171 KachelY 87558 -0.35305527 -0.90108291 -20.228577 -51.628248
    Oben rechts KachelX + 1 58172 KachelY 87558 -0.35300733 -0.90108291 -20.225830 -51.628248
    Unten links KachelX 58171 KachelY + 1 87559 -0.35305527 -0.90111266 -20.228577 -51.629952
    Unten rechts KachelX + 1 58172 KachelY + 1 87559 -0.35300733 -0.90111266 -20.225830 -51.629952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90108291--0.90111266) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dl = 189.537250000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90108291--0.90111266) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dr = 189.537250000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35305527--0.35300733) × cos(-0.90108291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		do = 189.596489010268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35305527--0.35300733) × cos(-0.90111266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.620738007150889 × 6371000     		du = 189.589365180061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90108291)-sin(-0.90111266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620761331413628-0.620738007150889)×R²
    abs(-0.35300733--0.35305527)×2.33242627387664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33242627387664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33242627387664e-05×40589641000000     		ar = 35934.9220237552m²