Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58170 / 87722
↖ ↑ ↗
← S 51.907002°
W 20.231323°		 ← 188.39 m → S 51.907002°
W 20.228577°		 →
↑
188.39 m
↓
↑
188.39 m
↓
S 51.908696°
W 20.231323°		 ← 188.38 m →
35 490 m²		 S 51.908696°
W 20.228577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443805694580078 y=0.669269561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443805694580078 × 217)
    floor (0.443805694580078 × 131072)
    floor (58170.5)     		tx = 58170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669269561767578 × 217)
    floor (0.669269561767578 × 131072)
    floor (87722.5)     		ty = 87722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58170 / 87722 ti = "17/58170/87722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58170/87722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58170 ÷ 217
    58170 ÷ 131072     		x = 0.443801879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87722 ÷ 217
    87722 ÷ 131072     		y = 0.669265747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443801879882812 × 2 - 1) × π
    -0.112396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35310320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669265747070312 × 2 - 1) × π
    -0.338531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06352805497057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35310320} λ = -0.35310320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06352805497057))-π/2
    2×atan(0.345235648850357)-π/2
    2×0.332424119525555-π/2
    0.664848239051111-1.57079632675     		φ = -0.90594809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35310320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.231323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90594809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.907002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58170 KachelY 87722 -0.35310320 -0.90594809 -20.231323 -51.907002
    Oben rechts KachelX + 1 58171 KachelY 87722 -0.35305527 -0.90594809 -20.228577 -51.907002
    Unten links KachelX 58170 KachelY + 1 87723 -0.35310320 -0.90597766 -20.231323 -51.908696
    Unten rechts KachelX + 1 58171 KachelY + 1 87723 -0.35305527 -0.90597766 -20.228577 -51.908696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90594809--0.90597766) × R
    2.95700000000343e-05 × 6371000     		dl = 188.390470000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90594809--0.90597766) × R
    2.95700000000343e-05 × 6371000     		dr = 188.390470000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35310320--0.35305527) × cos(-0.90594809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61693970060901 × 6371000     		do = 188.389959365675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35310320--0.35305527) × cos(-0.90597766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616916428441085 × 6371000     		du = 188.382852929235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90594809)-sin(-0.90597766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61693970060901-0.616916428441085)×R²
    abs(-0.35305527--0.35310320)×2.32721679243042e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32721679243042e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32721679243042e-05×40589641000000     		ar = 35490.2035984803m²