Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58169 / 89797
↖ ↑ ↗
← S 55.286937°
W 20.234070°		 ← 173.93 m → S 55.286937°
W 20.231323°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
S 55.288500°
W 20.234070°		 ← 173.92 m →
30 240 m²		 S 55.288500°
W 20.231323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443798065185547 y=0.685100555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443798065185547 × 217)
    floor (0.443798065185547 × 131072)
    floor (58169.5)     		tx = 58169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685100555419922 × 217)
    floor (0.685100555419922 × 131072)
    floor (89797.5)     		ty = 89797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58169 / 89797 ti = "17/58169/89797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58169/89797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58169 ÷ 217
    58169 ÷ 131072     		x = 0.443794250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89797 ÷ 217
    89797 ÷ 131072     		y = 0.685096740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443794250488281 × 2 - 1) × π
    -0.112411499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35315114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685096740722656 × 2 - 1) × π
    -0.370193481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.16299712168218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35315114} λ = -0.35315114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16299712168218))-π/2
    2×atan(0.312548031229413)-π/2
    2×0.302928625764951-π/2
    0.605857251529902-1.57079632675     		φ = -0.96493908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35315114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.234070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96493908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.286937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58169 KachelY 89797 -0.35315114 -0.96493908 -20.234070 -55.286937
    Oben rechts KachelX + 1 58170 KachelY 89797 -0.35310320 -0.96493908 -20.231323 -55.286937
    Unten links KachelX 58169 KachelY + 1 89798 -0.35315114 -0.96496637 -20.234070 -55.288500
    Unten rechts KachelX + 1 58170 KachelY + 1 89798 -0.35310320 -0.96496637 -20.231323 -55.288500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96493908--0.96496637) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96493908--0.96496637) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(-0.96493908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569466954475864 × 6371000     		do = 173.929865976223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(-0.96496637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569444521495586 × 6371000     		du = 173.923014366621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96493908)-sin(-0.96496637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569466954475864-0.569444521495586)×R²
    abs(-0.35310320--0.35315114)×2.24329802784862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24329802784862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24329802784862e-05×40589641000000     		ar = 30239.649212495m²