Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58167 / 88551
↖ ↑ ↗
← S 53.289847°
W 20.239563°		 ← 182.54 m → S 53.289847°
W 20.236817°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
S 53.291489°
W 20.239563°		 ← 182.53 m →
33 329 m²		 S 53.291489°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443782806396484 y=0.675594329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443782806396484 × 217)
    floor (0.443782806396484 × 131072)
    floor (58167.5)     		tx = 58167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675594329833984 × 217)
    floor (0.675594329833984 × 131072)
    floor (88551.5)     		ty = 88551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58167 / 88551 ti = "17/58167/88551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58167/88551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58167 ÷ 217
    58167 ÷ 131072     		x = 0.443778991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88551 ÷ 217
    88551 ÷ 131072     		y = 0.675590515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443778991699219 × 2 - 1) × π
    -0.112442016601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35324701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675590515136719 × 2 - 1) × π
    -0.351181030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.10326774475559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35324701} λ = -0.35324701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10326774475559))-π/2
    2×atan(0.331785121250423)-π/2
    2×0.320356516944946-π/2
    0.640713033889892-1.57079632675     		φ = -0.93008329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35324701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.239563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93008329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.289847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58167 KachelY 88551 -0.35324701 -0.93008329 -20.239563 -53.289847
    Oben rechts KachelX + 1 58168 KachelY 88551 -0.35319908 -0.93008329 -20.236817 -53.289847
    Unten links KachelX 58167 KachelY + 1 88552 -0.35324701 -0.93011195 -20.239563 -53.291489
    Unten rechts KachelX + 1 58168 KachelY + 1 88552 -0.35319908 -0.93011195 -20.236817 -53.291489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93008329--0.93011195) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93008329--0.93011195) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35324701--0.35319908) × cos(-0.93008329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.597767213288845 × 6371000     		do = 182.535409717225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35324701--0.35319908) × cos(-0.93011195) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.597744237188836 × 6371000     		du = 182.528393688685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93008329)-sin(-0.93011195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597767213288845-0.597744237188836)×R²
    abs(-0.35319908--0.35324701)×2.2976100009009e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2976100009009e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2976100009009e-05×40589641000000     		ar = 33329.021975345m²